http://matkafasi.com/16594/eger-%24x-y-0%24-ise-frac-x-2-y-2-z-times-frac-y-z-5-5-frac-x-7-y-7-z-7-7-%24-olur
burdaki teoreme ve cevabıma ek birşey paylaşmak istiyorum bu bir soru değildir.
Soru gibi sorup, cevabını kimse vermemesini bekleyip cevaplamak isterdim ama bu soruyu anlatamayacağımdan direk paylaşıyorum.
x+y+z=0 için
x+y=−z
x+z=−y
y+z=−x
yazabiliriz.(sanırım)
x+y=−z için işlersek
(x+y)3=−z3=x3+y3+3xy(x+y)
olur x+y=−z den dolayı
x3+y3+z3=3xyz
olur ve x5+y5+z5=−5x2y2z olur ve devam ettikçe şöyle eşitlikler oluşur.
n∈N+
.......................................................
x+y=−z için;
x2n+1+y2n+1+z2n+1=(−1)n+1.(2n+1)(xn.yn.z)
.......................................................
x+z=−y için;
x2n+1n+y2n+1+z2n+1=(−1)n+1.(2n+1)(xn.y.zn)
.......................................................
y+z=−x için;
x2n+1+y2n+1+z2n+1=(−1)n+1.(2n+1)(x.yn.zn)
.......................................................
toplarsak şöyle genel birşey çıkıyor
∀x,y,z : x+y+z=0
3(x2n+1+y2n+1+z2n+1)=(−1)n+1.(2n+1)[xn.yn.z+xn.y.zn+x.yn.zn]
Ve
3(x2n+1+y2n+1+z2n+1)=(−1)n+1.(2n+1)(x.y.z)[xn−1.yn−1+xn−1.zn−1+yn−1.zn−1]
attığım linkteki yapamadığım şeyi de böylece yapmış olduk ve dahada genişleterek birçok eşitlik yaratabiliriz bu denklemlerden.