Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
223 kez görüntülendi

http://matkafasi.com/16594/eger-%24x-y-0%24-ise-frac-x-2-y-2-z-times-frac-y-z-5-5-frac-x-7-y-7-z-7-7-%24-olur

burdaki teoreme ve cevabıma ek birşey paylaşmak istiyorum bu bir soru değildir.
Soru gibi sorup, cevabını kimse vermemesini bekleyip cevaplamak isterdim ama bu soruyu anlatamayacağımdan direk paylaşıyorum.


$x+y+z=0$ için 

$x+y=-z$

$x+z=-y$

$y+z=-x$

yazabiliriz.(sanırım)

$x+y=-z$ için işlersek

$(x+y)^3=-z^3=x^3+y^3+3xy(x+y)$

olur $x+y=-z$  den dolayı

$x^3+y^3+z^3=3xyz$


olur ve $x^5+y^5+z^5=-5x^2y^2z$ olur ve devam ettikçe şöyle eşitlikler oluşur.


$n\in\mathbb{N^{+}}$
.......................................................

$x+y=-z$ için;

$x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1}=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x^n.y^n.z)$
.......................................................

$x+z=-y$ için;

$x^{2n+1}n+y^{2n+1}+z^{2n+1}=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x^n.y.z^n)$


.......................................................

$y+z=-x$ için;

$x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1}=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x.y^n.z^n)$


.......................................................

toplarsak şöyle genel birşey çıkıyor

$\forall x,y,z$    :   $x+y+z=0$  

$3(x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1})=(-1)^{n+1}.(2n+1)[x^n.y^n.z+x^n.y.z^n+x.y^n.z^n]$

Ve

$3(x^{2n+1}+y^{2n+1}+z^{2n+1})=(-1)^{n+1}.(2n+1)(x.y.z)[x^{n-1}.y^{n-1}+x^{n-1}.z^{n-1}+y^{n-1}.z^{n-1}]$

attığım linkteki yapamadığım şeyi de böylece yapmış olduk ve dahada genişleterek birçok eşitlik yaratabiliriz bu denklemlerden.

Lisans Matematik kategorisinde (7.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 223 kez görüntülendi

$\sum_{n=1}^{a}\left[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}.x^{n-k}.y^k \right]$  bundan da garip şeyler çıkabilir.

Bence biraz dusunerekten genellestirme sorusu yazabilirsin. Diger sorudaki 2,5,7 yerine uygun degiskenler kullanabilirsin. Hatta 3 tane icin degil, daha fazla icin bile genellestirebilirsin. Teker teker sorararak adim adim ilerletebilirsin soruyu.

aynen hocam biraz daha analız kasayım binom çok hoş duruyor ilginiz için sağolun.

hocam netten baktim ama bulamadim 3lu ve 4lu binomal teoremlerin genel acilimlari varmi yoksa ben formulize edeyim.

19,697 soru
21,400 cevap
71,870 yorum
222,093 kullanıcı