0 ve 1 arasındaki sayıların sonsuz kuvvet toplam serilerinde ,çift kuvvet serilerinin tek kuvvet serilerine eşit olması

Question

$|a|>1$    ve   $a\in\mathbb{R};k \in \mathbb{N}$

$\sum_{k=0}^{\infty}a^{-(2k+1)}=\sum_{k=0}^{\infty}a^{-2k}$ 

böyle bir eşitlik varsa ispatlayınız ,yoksa çürütünüz.

Örnek


$1+2^{-2}+2^{-4}+2^{-6}+2^{-8}+2^{-10}+...........=2^{-1}+2^{-3}+2^{-5}+2^{-7}+2^{-9}+2^{-11}+.......$

Comments

$a>1$ mi olacak yosa $0< a <1$ mi?

---

0 1 arasında , sorudada belirtmiştim . 0 1 arasında olmasa bile tekli kuvvetlerın formulu varmıki? $\zeta$  gibi birşeydı sanırım.

---

Diger turlu $a^{-2}>1$ olur ve seriler iraksar.

---

hocam haklısınız ben basit kesirli ifadelerin toplamı için sordum soruyu düzenliyorum birdaha bakarmısınız kafanızı karıştırdım kendiminkinide .

Answer 1

Eger $|a|>1$ ise birincisi $$\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1-a^{-2}}$$ ve ikincisi $$\frac{1}{1-a^{-2}}$$ olur. Eger $0<|a|<1$ ise iki seri de iraksar.

Comments

daha açık birşekilde gösterirmisiniz hocam,  ben gösteremedim diye böyle yorumladım.

---

$\sum (a^{-2})^k$ toplamlari, bir onceki sorun.

---

şimdi düzelttim ve anladım a yerine  $a^2$  veya  $a^{2k-1}$ gibi şeyler yazdık çok sağolun. ve teorem çürütüldü....Bravo!