$F(\Bbb{R})=\{f\mid f:\Bbb{R}\rightarrow \Bbb{R}\}$ ve $\forall x\in \Bbb{R}$ için $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(f.g)(x)=f(x)g(x)$ ile $F(\Bbb{R})$ halkası veriliyor. $t\in \Bbb{R}$ olmak üzere $I_{t}=\{f\in F(\Bbb{R}) \mid f(t)=0\}$ idealinin maksimal olduğunu gösteriniz.

Question

$F(\Bbb{R})$ nin $J-$yarıbasit olduğunu ispat ediniz.

Answer 1

$f(t)=a\neq 0$ olan bir eleman alalım. Diğer noktalardaki görüntüsünü bilmiyoruz. Şimdi şu fonksiyona bakalım. $x\neq t$ için $g(x)=f(x)$ eğer $f(x)\neq 0$ ve $g(x)=1$ eğer $f(x)=0$ ise. Ve son olarak $g(t)=0$ koyalım. Bu durumda $g\in I_t$ olur $f+g$'nin hiçbir noktadaki değeri sıfır olmaz. O halde çarpımsal tersi vardır. Yani dışardan alınan herhangi bir elemanla $I_t$'nin elemanları $1$'i üretiyor. O halde $I_t$ maksimaldir.

Yarı basit ne?

Comments

radikalin sıfır olması (Jacobson radikali; maksimal ideallerin kesişimi)

---

Semi-simple    

---

$I_t$'ler maksimal olduğuna göre diğer yanıt yarı-basitliği kanıtlar.

---

$I_{t}$ ler bütün maksimalleri tarar mı? Yani bunu nasıl garanti ediyoruz.

---

Hepsini taramasına gerek yok. Hepsinin kesişimi bunların kesişiminin içinde olacak mecbur.

---

Kendisini içeren tek ideal halkanın kendisi, maksimal olmadıgını kabul edip çok raht ispatlanabilir.

---

Benim soruda çok saçma oldu. Tamam teşekkür ediyorum, yardımların için.

---

Rica ederim.

---

Ne kadar rahat! Bir ispatlayıversen Sercan, o çözümüde görmeyi isterim.

---

Tabletli dakikalar, kısa ispat ya da yorum saatleri :)

Answer 2

$I_t$'de olmak için $t$ noktasında $0$ olmak zorunda fonksiyon. Her $I_t$'de olmak için her $t$'de sıfır olmak gerekir. Yani bu küme $\{0\}$ olmak zorundadır. Cebirsel bir yapı olmasına da gerek yok burada bir şeyleri yanlış anlamadıysam.

Comments

Ya soru enfazla 300 karakter dediği için bir türlü yazamadım. 1 saatte yazdım sağol 2 sn de çözdün. Asıl soru $I_{t}$ nin maksimal ideal olduğunun gösterilmesi ve $F(\Bbb{R})$ nin $J-$semisimple olması?

---

Sorunun hepsini basliga yazmak zorunda degilsin ki :) Telefondan girdigin icin "Sorunuz icin daha fazla bilgi :" kismini gormuyor olabilir misin? Cunku o kisimda sinirlama yok . Ben 300 karakterden fazla sorular sordum daha once.

---

Yok telefondan girmiyorum soruları yazarken. Belirttiğinz yeride hiç anlamamıştım.

Answer 3

http://matkafasi.com/1088/sonlu-olmayan-cisimlerde-elemanlari-sifira-goturen-fonksiyon

Bu linkte genel hali ispatlanmış.

Answer 4

$I_t$'nin disindan bir $g$ fonksiyonu alalim: yani $g(t) = c \neq 0$. Amacimiz $\left<I_t, g\right>$ idealinin butun halkaya esit oldugunu gostermek.

Simdi $$\tilde{g}(x) = g(x) - c$$ fonksiyonunu dusunelim. Bu fonksiyon $t$'de sifirlanir: $$\tilde{g}(t)=g(t) - c = g(t) - g(t) = 0$$ .

Dolayisiyla $\tilde{g} \in I_t$. Demek ki $g - \tilde{g} \in \left<I_t, g\right>$. Yani, sabit $c$ fonksiyonu $\left< I_t, g\right>$ idealinde bulunuyor. Ama sabit $c$ fonksiyonu tersinir bir eleman. Demek ki $\left< I_t, g\right>$  halkamiza esit. Bu da $I_t$'nin maksimal oldugunu gosterir.

Comments

Gec kalmisim :(

---

Hızır olmalıymış hocam adın, yoksa Şafak hocam bana çözdürecekti bunu :)

---

Aslında neden aklıma gelmedi de kendim çözdüm ki?