Sonlu olmayan cisimlerde tum elemanlari sifira goturen fonksiyon.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
79 kez görüntülendi

$K$ sonlu olmayan bir cisim olsun. $f$ bu cisim uzerinde $n$ degiskenli bir polinom olmak uzere ($f(x_1,x_2,...,x_n) \in K[x_1,x_2,...,x_n]$). Tum $a_1,a_2..a_n \in K$ icin $f(a_1,a_2,...,a_n)=0$ ise $f=0$ oldugunu gosteriniz.

Sonlu cisimlerde bu saglanmaz, ornegin $\mathbb{F}_2$'de $x^2+x$ ikinci dereceden bir polinom ama goruntusu $0$.

17, Şubat, 2015 Lisans Matematik kategorisinde Sercan (23,203 puan) tarafından  soruldu

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Şunu ispatlamak yeterlidir. 

Sabit olmayan her polinomun 0 değeri almadığı bir nokta vardır.

Tümevarımla:

1. $n=1$ için cisim sonlu olmadığından kolay.

2  $n-1$ için önerme doğru olsun.  $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ sabit olmayan  bir polinom olsun. Bu polinomda, (kısaltmalar yapıldıktan sonra) $x_i$ lerden en az biri bulunacaktır. $i=1$ varsayabiliriz. ($k>0$) $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=x_1^kg(x_2,\ldots,x_n)+\cdots$ (başka $x_1^k$ terimi yok) olsun.  Tümevarım hipotezinden, $g\neq0$ olduğu için $g(a_2,a_3,\dots,a_n)\neq0$ o. ş. sayılar vardır. $h(x_1)=f(x_1,a_2,\ldots,a_n)$ bir değişkenli sıfırdan farklı bir polinom olduğundan ve cisim sonlu olmadığından $h(a_1)\neq0$ o. ş. $a_1$ sayısı vardır. $f(a_1,a_2,\ldots)=h(a_1)\neq0$ olur.

17, Şubat, 2015 DoganDonmez (3,534 puan) tarafından  cevaplandı
19, Mart, 2015 Sercan tarafından seçilmiş

Guzel cozum olmus, aklima ilk duzden geldigi, ayni metodla cevaba gittiginden, ters hali gelmemisti. Tesekkur ederim. Kimse onu eklemezse ilerde ben eklerim.

...