Question

Asal sayıların sonsuz çoklukta olduğunu ispatlayınız

Comments

Farzedelim sonlu olsun elimizde de bir listesi olsun.Bunları kullanarak yeni bir asal oluşturursak işimiz biter.

---

Bakmadım ama sitede cevabı olması lazım.

---

Foton bu tarz sorulara bakmasan bile sitede olabilecegini tahmin etmen lazim :)

---

bılıyorum var ama çok karman çorman bilerek soruyorum hem kesin cevaplar hemde benim sorularımda güzel bir arşiv oluşsun diye :D 5-6 aya daha belli olucak bu dediğim. Sayılar teorisi olimpıyatlar arşivi, kumeler kuramı, ileri analiz gibi gibi.

---

Oyle yapmamak lazim. Eger eski bir soru var ise yenisini gelistirip sormak ya da referans vermek gerekir icerige. 

Herkes bu tarz sorulari sorsa, sitede gereksiz on-on bes ayni tarz baslik olur. Hem bu sekilde karman cormanlik artar.

Soru eklemekten cok cevap eklemek daha iyi olur, eger planlarin varsa. Sorunun yanina cevap da ekleyebilirsin: buradaki gibi.

---

tamamdır hocam, anlaşıldı.

Answer 1

Kabul edelim ki asal sayılar kümesi sonludur. Her $p_i$ asal sayı olmak üzere, bu küme $A=\{p_1,p_2,p_3,...,p_n\}$ olsun. Öte yandan $1$ den büyük olan $x=p_1.p_2.p_3...p_n+1$ bileşik tam sayısının en az bir asal böleni var olmak zorunda olduğundan,$1\leq i\leq n$ olmak üzere,öyle bir $p_i\in A$ vardır ki  $p_i|x\Rightarrow p_i|p_1.p_2.p_3...p_n+1\Rightarrow p_i|p_1.p_2.p_3...p_n$ ve $p_i|1$ olmak zorundadır. Bu da ancak $p_i=1$ olması ile mümkündür ki bu bir çelişkidir.  demek ki asal sayılar kümesi sonsuzdur. 

Answer 2

Kabul edelim ki sonlu sayıda asal olsun.

Bütün asallardan oluşan kümeyi $P$ ile gösterelim.

$$P=\ \lbrace{ p_1,p_2,p_3,...,p_n}\ \rbrace$$

$S=p_1.p_2.p_3...p_n+1$  için $S>1$ ve   $S\in\mathbb{Z}$   olduğundan $A.T.T.$ gereğince; 

$\frac{S}{p}$ $\in\mathbb{Z}$   o.ş.  bir $p$ asalı vardır. 

$$\Rightarrow$$

$$(p\in\ S)(p=p_i)$$

$$\Rightarrow$$

$$\Big(\frac{S}{p_i}\in\mathbb{Z}\Big) ve \Big(\frac{p_1.p_2.p_3...p_n}{p_i}\in\mathbb{Z}\Big)$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{1}{p_i}\in\mathbb{Z}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$p_i=1 (\rightarrow\leftarrow)$$