Sonlu bir cisim üzerinde sonsuz çoklukta indirgenemez polinom olduğunu gösteriniz

Question

(Sonlu cisimlerde) Buna eşdeğer olarak indirgenemez polinomların derecelerinin bir üst sınırı olmadığını gösterin. (Ama, $\mathbb{R}$ de indirgenemez polinomların derecesi en fazla 2 dir)

Comments

Hiç bir teorem kullanmadan basit bir yöntemle gösterilebilir.

Yol gösterme: Öklid in asal sayıların sonsuz çoklukta olduğu ispatını hatırlayın.

Answer 1

İddianın yanlış, yani (sonlu bir $F$ cismi üzerinde) sonlu çoklukta indirgenemez polinom olduğunu varsayalım. Bunlara $p_1(x),\ p_2(x),\ldots,\ p_n(x)$ diyelim. Burada, $n\geq1$ olduğu, (çünki $x$ indirgenemez bir polinomdur) biraz sonra gerekli olacak.

($n\geq1$ olduğu için) $f(x)=p_1(x)p_2(x)\cdots p_n(x)+1$ pozitif dereceli bir polinomdur.

Her pozitif dereceli polinomunu bölen (en az) bir indirgenemez polinom vardır (bu iddia, tümevarımla ispatlanabilir veya $F[x]$ halkasının tek tip çarpanlar ayrılma bölgesi oluşundan görülür). $p(x),\ f(x)$ i bölen bir indirgenemez bir polinom olsun.

$p(x)$ polinomu, $p_1(x),\ p_2(x),\ldots,\ p_n(x)$ polnomlarından biri olduğu için $p(x),\ 1$ polinomunu da böler. Çelişki. (Çünki indirgenemez polinom, tanımından dolayı, pozitif derecelidir)

Bu çelişki iddiamızı ispatlar.

(Buraya kadar aslında cismin sonlu olduğunu kullanmadık.  Aslında, sonsuz cisimlerde sonsuz çoklukta indirgenemez polinomun varlığının  ispatı  çok daha kolaydır: Sonsuz bir cisim üzeride 1. dereceden sonsuz çoklukta  polinom vardır, bunların tümü indirgenemezdir.)

Sonlu bir cisimde verilen bir sayıdan daha küçük dereceli  polinomlar sonlu sayıda olduğu için indirgenemez polinomların dereceleri üstten sınırlı olamaz.