Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
129 kez görüntülendi

(Herhangi bir cisim üzerine) Pozitif dereceli her polinomu bölen (en az  bir ) indirgenemez polinomun varlığını gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (4.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 129 kez görüntülendi

Herhangi sayıda değişkenli polinomlar için, polinomlar halkasının Tek tip Çarpanlara Ayrılma Bölgesi (UFD) olduğunu kullanmadan, tümevarımla gösterilebilir.

http://matkafasi.com/87385/%24n-tamsayisi-icin-%24n%24-sayisinin-neden-bir-asal-boleni-olmali?show=87385#q87385

deki problemin (uzun çözümü) ile neredeyse aynı şekilde gösterilebiliyor.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Polinomun derecesi üzerine tümevarım ile: 

("$P(k):$ derecesi $\leq k$ olan tüm (sabit olmayan) polinomları bölen bir indirgenemez polinom vardır" önermesinini her $k\geq1$ için doğru olduğunu göstereceğiz.

  1. $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ derecesi 1 olan bir polinom olsun. Bir polinomun derecesi doğal sayı olduğundan $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=g(x_1,x_2,\ldots,x_n)h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde $g(x),h(x)\in F[x_1,x_2,\ldots,x_n]$ ve $g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ ve $h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dereceleri<1 olacak şekilde iki polinom var olamaz. Öyleyse $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenemez polinomdur ve $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ dir. $P(1)$ doğrudur.
  2. Bir $k\geq1$ doğal sayısı için, $P(k)$ doğru olsun.
    $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ derecesi $k+1$ olan bir polinom olsun. 
  • $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenemez ise, $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olduğu için $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ i bölen bir indirgenemez polinom vardır.
  • $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ indirgenebilir ise, $f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=g(x_1,x_2,\ldots,x_n)h(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde  dereceleri $1\leq\deg g\leq k$ ve $1\leq\deg h\leq k$  olacak şekilde polinomlar vardır. Kabulümüzden, $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid g(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olacak şekilde en az bir indirgenemez $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ polinomu vardır. $p(x_1,x_2,\ldots,x_n)\mid f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ olduğu açıktır.
  • Tümevarım ilkesinden, iddiamızın doğruluğu gösterilmiştir.
(4.8k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
18,540 soru
20,833 cevap
67,770 yorum
19,234 kullanıcı