Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
413 kez görüntülendi

$\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$   ($\lfloor\:\rfloor$ : tam değer) olmak üzere:

  1. $\{x^2\}-\{x\}>{2015\over 2016}$ olacak şekilde sonsuz çoklukta pozitif gerçel sayının var olduğunu gösteriniz.
  2. Bu eşitsizliği sağlayan $1000$ den küçük pozitif gerçel sayının var olmadığını gösterin.

(Avustralya Matematik Olimpiyatlarında sorulmuş bir soru.)

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (6.2k puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 413 kez görüntülendi
Cevabı LaTeX ile yazması epey sıkıntılı :)

3 Cevaplar

1 beğenilme 0 beğenilmeme
(0.0) Elimizde (hemen gözüken) güzel bir bilgi olarak $\epsilon:=\{x\}<1/2016$ bilgisi var.
(0.1) Bununla beraber fena olmayan bir sınır için $\{x^2\}>2015/2016$ kullanılabilir.
(0.2) $x=n+\epsilon$ olarak yazalım.

(1.0) $\{x^2\}=\{(n+\epsilon)^2\}=\{n^2+2n\epsilon+\epsilon^2\}=\{2n\epsilon+\epsilon^2\}$ olur.
(1.1) $\epsilon<1/2016$ bigisi ile $2n\epsilon+\epsilon^2>2015/2016$ eşitsizliğini $n$ için düzenlersek
(1.2) $n>1007$ eşitsizliğini elde ederiz.
(1.3) Bu da $x\ge n>1000$ eşitsizliğini verir.
(25.4k puan) tarafından 
Ben de topu Ökkeş'e atayım. İki tane çok abartı olmayan sınır küçültmesi yaptım. Tam olarak ilk hangi değer için bu eşitsizlik sağamaz buna bakılabilir.

Matematiksel olarak =2015/2016 olarak çözüme gidilebilir ama ben uğraşmak istemem. Bilgisayarda kolay bulunabilir gibi duruyor.
Wolpram Alpha'ya yazdım nümerik çözüm olarak verdi sonuçları.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
(Bu benim çözümüm; sınavın cevap anahtarındaki biraz daha basit çözüm aşağıda)

$n\in\mathbb{N}^+$ olmak üzere:

$x=2015n+1008+\dfrac1{(2n+1)2016}$ olsun.

(Amacım:

$x^2=(\lfloor x\rfloor+\{x\})^2=\lfloor x\rfloor^2+2\lfloor x\rfloor \{x\}+\{x\}^2$ eşitliğinde $2\lfloor x\rfloor \{x\}=\dfrac{2015+\frac1{2n+1}}{2016}=\dfrac{(2n+1)2015+1}{(2n+1)2016}=2(2015n+1008)\dfrac{1}{(2n+1)2016}$

olmasını sağlamak)
$\{x\}=\dfrac1{(2n+1)2016}$ olur.
$\begin{align}x^2&=(2015n+1008)^2+\dfrac{2(2015n+1008)}{(2n+1)2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2\\&=\textrm{TAMSAYI}+\dfrac{2015}{2016}+\dfrac1{(2n+1)2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2\end{align}$
olur, ve
$\{x^2\}=\dfrac{2015}{2016}+\dfrac1{(2n+1)2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2$ olur.
$\{x^2\}-\{x\}=\dfrac{2015}{2016}+\left(\dfrac1{(2n+1)2016}\right)^2>\dfrac{2015}{2016}$

(Orada verilen çözüm daha güzel: (yeterince büyük $n$ ler için) $x=n+\frac1{n+1}$ sayılarının istenen eşitsizliği sağladığı gösteriliyor)
2. Kısmı Sercan a bırakalım :-)
(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
Aslında, eşitsizliğin bir çözümü varsa, sayılamaz sonsuz çoklukta çözüm olacağını göstermek (birinci sınıf lisans düzeyi  Analiz bilgisi ile) zor değil.

$f(x)=\{x^2\}-\{x\}$ fonksiyonu tüm $\mathbb{R}$ de tanımlı ve $X=\{\pm\sqrt n:n\in\mathbb{N}\}$ kümesinin elemanları dışında süreklidir ve $\forall x\in X$ için $f(x)\leq0$ olur.

Bir $a$ sayısı için ($a<0$  da olabilir)  $f(a)>{2015\over2016}$ olsun. $a\notin X$ dir, bu nedenle, $f,\ a$ da süreklidir.

$\varepsilon=f(a)-{2015\over2016}$ alalım, $\varepsilon>0$ dır.

$f,\ a$ da sürekli olduğundan, süreklilik tanımından,  

$|x-a|<\delta$ sağlayan her $x$ için, $|f(x)-f(a)|<\varepsilon$ (eşdeğer olarak: $ {2015\over2016}<f(x) < {2015\over2016}+2\varepsilon$)

olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı vardır.  

$(a-\delta,a+\delta)$ aralığında sayılamaz sonsuz çoklukta gerçel sayı var olup, tümü bu eşitsizliği sağlar.
0 beğenilme 0 beğenilmeme
Reduce[{FractionalPart[x^2] - FractionalPart[x] - 2015/2016 == 0,1000 < x < 1010}, x, Reals]

$x=\frac{1}{168} \left(84+\sqrt{28648975810}\right)\lor x=\frac{1}{168} \left(84+\sqrt{28705875394}\right)$

$x=\frac{1}{168} \left(84+\sqrt{28648975810}\right)=1008.00049603162392386914214268$

(2.9k puan) tarafından 
İyi bir takım olduk :)
20,248 soru
21,774 cevap
73,421 yorum
2,150,237 kullanıcı