Önce şunları gösterelim:
$\forall x\in A\subset\mathbb{R}$ için $f(x),g(x)>0$ ve $f$ ve $g,\ A$ kümesinde biri kesin artan, diğeri artan fonksiyonlar ise, $fg$ (çarpım) fonksiyonu da $A$ da kesin artandır .
$\forall x\in A\subset\mathbb{R}$ için $f(x),g(x)<0$ ve $f$ ve $g,\ A$ kümesinde biri kesin artan, diğeri artan fonksiyonlar ise, $fg$ (çarpım) fonksiyonu $A$ da kesin azalandır .
$f,\ A$ da artan fonksiyon, $ f(A)\subseteq B $ ve $ g,\ B $ de artan fonksiyon ise, $g\circ f,\ A$ da artan fonksiyondur.
$f,\ A$ da azalan fonksiyon, $ f(A)\subseteq B $ ve $ g,\ B $ de artan fonksiyon ise, $g\circ f,\ A$ da azalan fonksiyondur.
İlk iki önermeyi kanıtlayalım. Diğerlerinin kanıtı daha kolay. Bunlar, 1. sınıf Analiz dersinin standart önermeleridir (Bunlar, genellikle, aralık için ifade edilir ama daha genel olarak da doğrudur).
1.($ f $ kesin artan varsayalım) $x_1,x_2\in A, x_1<x_2$ olsun . $0<f(x_1)<f(x_2)$ olur. $g(x_1)>0$ olduğundan, $f(x_1)g(x_1)<f(x_2)g(x_1) $ olur. $0<g(x_1)\leq g(x_2)$ ve $f(x_2)>0$ oluşundan, $f(x_2)g(x_1)\leq f(x_2) g(x_2)$ olur. İki eşitsizlik birleştirince, $ f(x_1)g(x_1)<f(x_2)g(x_2) $ elde edilir.
2. ($ f $ kesin artan varsayalım) $x_1,x_2\in A, x_1<x_2$ olsun . $f(x_1)<f(x_2)<0$ olur. $g(x_1)<0$ olduğundan, $f(x_1)g(x_1)>f(x_2)g(x_1) $ olur. $g(x_1)\leq g(x_2)<0$ ve $f(x_2)<0$ oluşundan, $f(x_2)g(x_1)\geq f(x_2) g(x_2)$ olur. İki eşitsizlik birleştirince, $ f(x_1)g(x_1)>f(x_2)g(x_2) $ elde edilir.
Bunları (ve $x$ in kesin artan, $\lfloor x\rfloor$ in artan olduğunu) bir kaç kez kullanarak, $f(x)= x\lfloor x\lfloor x\lfloor x\rfloor\rfloor\rfloor\rfloor $ fonkiyonunun $ [1,+\infty) $ aralığında kesin artan olduğu sonucuna varırız. $0\leq x<1$ için $f(x)=0$ dır. $1296=6^4=f(6)<2022<f(7)=7^4=2401$ olduğu için, $f,\ (0,6]\cup [7,+\infty)$ kümesinde $2022$ değerini alamaz.
$ 6<x<7 $ için $\lfloor x\rfloor=6$, $36< x\lfloor x\rfloor<42 $ olup, $36\leq \lfloor x\lfloor x\rfloor\rfloor\leq41 $ ve $216<x \lfloor x\lfloor x\rfloor\rfloor<287 $ olur. Buradan, $216\leq\lfloor x \lfloor x\lfloor x\rfloor\rfloor\rfloor\leq 286 $ elde ederiz. Son olarak, $1296<x\lfloor x \lfloor x\lfloor x\rfloor\rfloor\rfloor<2002 $ buluruz. $f,\ (6,7)$ aralığında da $ 2022 $ değerini (daha da fazlası, pozitif gerçel sayılarda, $[2002,2401) $ aralığındaki hiç bir değeri) almadığı sonucuna varırız.
İkinci soru:
Yukarıdaki önermelerden, $ f $ nin, $(-\infty,0)$ aralığında kesin azalan olduğu ve $1296=(-6)^4=f(-6)<2022<f(-7)=(-7)^4=2401$ olduğu görülür.
Bu kez, öncekine benzer şekilde (adımları atlıyorum) $ -7<x<-6 $ iken $-336\leq\lfloor x\lfloor x\lfloor x\rfloor\rfloor\rfloor\leq-252$ buluruz. Öyleyse, eşitliği, $-\frac{2022}{252},\ldots,-\frac{2022}{336}$ sayılarından başkası sağlayamaz. Biraz uğraşarak (ben Excel ile yaptım), $ x=-\frac{2022}{305}$ sayısının denklemi sağladığı görülür, başka gerçel çözüm de var olamaz.