Burak'ın işaretlediği $n$ sorudan $k$ tanesi doğru olsun. Barajı geçebilmesi için yapması gereken minimum doğru sayısına $m$ diyelim. Burak'ın $24$ net yapması gerektiğine göre $m-\frac{n-m}{4}\geq 24$ olmalı. Düzenlersek $m\geq \frac{n+96}{5}$ olur. Bu durumda $n$ sayısı değişirken $m$ sayısı da sabit kalmayacak, $n$'in $5$ artışında $1$ artacak. $m$'in $1$ arttığı noktalara "kritik nokta" adını verelim. Önce olasılığın kritik noktaların dışında kalan artışını inceleyelim, ardından kritik noktaları test edelim. $n$ kadar soruyu işaretleyen Burak'ın barajı geçme olasılığı $P_n$ olsun.
$P_n= \sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})$ olduğuna göre kritik olmayan noktalardaki $n$ ve $n+1$ sayıları için $P_n$ ve $P_{n+1}$ arasındaki farkın sıfırdan büyük veya küçük olması bize fonksiyonun artanlığı veya azalanlığı hakkında bilgi verecektir. O halde;
$P_{n+1}=\sum\limits_{k=m}^{n+1}(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}})$
$=\frac{(n+1)!.4^{n-m+1}}{m!.(n-m+1)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!.4}{n!.1!.5^{n+1}}+\frac{(n+1)!}{(n+1)!.5^{n+1}}$
$P_{n}=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})=\frac{n!.4^{n-m}}{m!.(n-m)!.5^n}+\cdots+\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}+\cdots+\frac{n!}{ n!.5^n}$ ifadelerini taraf tarafa çıkartırsak $P_{n+1}-P_n= \sum\limits_{k=m}^n(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}}-\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})+\frac{1}{5^{n+1}}$
$=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}(\frac{4(n+1)}{5(n-k+1)}-1))+\frac{1}{5^{n+1}}$ olur. Eğer $\frac{4(n+1)}{5(n-k+1)}-1>0$ ise olasılık fonksiyonu kritik olmayan noktalarda sürekli artandır. Bu durumda $5k>n+1$ olduğu şartlarda fonksiyon artandır. Başlangıçta $m\geq \frac{n+96}{5}$ şartını koştuğumuzdan $5k>n+1$ şartı her zaman sağlanır o halde olasılık fonksiyonu kritik olmayan her noktada artandır.
Eğer kritik noktalarda iki $n$ ve $n+1$ sayısı seçersek yine $P_n$ ve $P_{n+1}$ arasındaki farkın sıfırdan büyük veya küçük olması bize fonksiyonun artanlığı veya azalanlığı hakkında bilgi verecektir. O halde;
$P_{n+1}=\sum\limits_{k=m+1}^{n+1}(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}})$
$=\frac{(n+1)!.4^{n-m}}{(m+1)!.(n-m)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}}+\cdots+\frac{(n+1)!}{(n+1)!.5^{n+1}}$
$P_{n}=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})=\frac{n!.4^{n-m}}{m!.(n-m)!.5^n}+\cdots+\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}+\cdots+\frac{n!}{ n!.5^n}$ ifadelerini taraf tarafa çıkartırsak $P_{n+1}-P_{n}=\sum\limits_{k=m+1}^{n+1}(\frac{(n+1)!.4^{n-k+1}}{k!.(n-k+1)!.5^{n+1}})-\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})$
$=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{(n+1)!.4^{n-k}}{(k+1)!.(n-k)!.5^{n+1}}-\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n})=\sum\limits_{k=m}^n(\frac{n!.4^{n-k}}{k!.(n-k)!.5^n}(\frac{n+1}{5(k+1)}-1))$ olur. Eğer $\frac{n+1}{5(k+1)}-1<0$ ise olasılık fonksiyonu kritik noktalarda sürekli azalandır. Bu durumda $5(k+1)>n+1$ olduğu şartlarda fonksiyon azalandır. Başlangıçta $m\geq \frac{n+96}{5}$ şartını koştuğumuzdan $5(k+1)>n+1$ şartı her zaman sağlanır o halde olasılık fonksiyonu her kritik noktada azalandır.
Bu bilgilere bakılarak kritik noktadaki $159$'un tepe noktası olduğunu çıkarabiliriz. Burak eğer $159$ soru işaretlerse barajı geçme şansını maksimize eder ve barajı geçme olasılığı $P_{159} \approx \%0,223$'tür.