Tüm kenar uzunlukları bilinen üçgenin alan ispatı $A(ABC)=\sqrt{\dfrac{s}{2}.(\dfrac{s}{2}-a)(\dfrac{s}{2}-b)(\dfrac{s}{2}-c)}$

Question

Tüm kenar uzunlukları bilinen üçgenin alanını bulmak için kullanılan yöntemlerden biride şudur;

Eğer  bir üçgenin kenar uzunları $a,b,c$,  kenarlar toplamı $s=a+b+c$

ve köşeleri $A,B,C$  ise $A(ABC)=\sqrt{\dfrac{s}{2}.(\dfrac{s}{2}-a)(\dfrac{s}{2}-b)(\dfrac{s}{2}-c)}$ bunun mantığı nedir? nasıl formüle edilmiştir?

ve yeri gelmişken söylüyeyim  $A$ , $B$  ve  $C$ köşelerinin kordinatları biliniyorsa Matris-Determinant yöntemi ile de üçgen alanı hesaplanabiliyor ama nasıl hangi mantıkla?

Matris-Determinant için genel çözüm.

$A(x_{1},y_{1})$, $B(x_{2},y_{2})$, $C(x_{3},y_{3})$ olsun  ve alt alta yazıp determinantını alırsak

hangi mantıkla alanı bulabiliyoruz?

dipçe:bu hesapların hepsini tabikide biliyorum ama en temel mantığı nedir ezberden değil anlayarak ve kavrayarak....

Comments

Cebirsel bir eşitlik.Pek bir detayli bir mantigi yok.

http://m.youtube.com/watch?v=eIB7DjVPSJk

---

teşekkür ederim , peki determinant la ilgili varmı bilginiz aslında genel olarak determinant tam olarak ne işe yarıyor. aslında böyle bir soru sorabılırım.

---

Bu sorunun aynisi sorulmustu ve ben de cevaplamistim.

Answer 1

Öncelikle ifadeyi düzenlersek $\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}}=\frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$ eşitliğini elde ederiz. Cosinüs bağıntısından $c^2=a^2+b^2-2ab.cos\theta$ denkleminde $cos\theta=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ olur. $sin\theta=\sqrt{1-cos^2\theta}$ olduğundan $sin\theta=\sqrt{1-\frac{(a^4+b^4+c^4)-2(a^2b^2-a^2c^2-b^2c^2)}{4a^2b^2}}=\sqrt{\frac{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}{4a^2b^2}}$ olur. Sinüs bağıntısından $S=\frac{ab.sin\theta}{2}$ olduğundan $S=\frac{ab}{2}.\sqrt{\frac{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}{4a^2b^2}}=\frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}$ olur ve bu en baştaki $S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}.\frac{a+b-c}{2}.\frac{a-b+c}{2}.\frac{-a+b+c}{2}}$ ifadesine eşittir.

Comments

peki kosinüs bağıntısını ispatlayınız.http://matkafasi.com/66241/cosinus-bagintisini-ispatlayiniz

---

ve ispatınız dairesel olmuş , daha temel bir ispat olabilir yukardaki dexorun yorumundakı gibi.Teşekkürler iyi çalışmalar.

---

Dairesel derken sinus cosinus mu kastediliyor? Galiba dik ucgenden cikiyordu su anda telefondayim aksam cevapsizsa bilgisayardan yazayim.