Cosinüs bağıntısını ispatlayınız

Question

Eğer  bir üçgenin kenar uzunları $a,b,c$  ve köşeleri $A,B,C$  ise

cosinüs bağıntısı olan;

$a^2=b^2+c^2-2.b.c.cosA$

Answer 1

$ABC$ üçgeninde, $|AB|=c,|AC|=b,|BC|=a$ olup $B$ Köşesine ait yükseklik ayağı $H$ ve $|BH|=h$ ,$|AH|=x$ olsun. Ozaman $|HC|=b-x$ dir.  Şimdi Oluşan $ABH$ ve $BHC$ dik üçgenlerinde sırası ile Pisagor teoremlerini uygulayıp bulduğumuz eşitlikleri taraf taraf çıkaralım.

$c^2=h^2+x^2$, ve $a^2=h^2+(b-x)^2$ den $c^2-a^2=-b^2+2bx$ olur.  Diğer taraftan $ABH$ dik üçgeninde $cosA=\frac{x}{c}\Rightarrow x=c.cosA$ olur. Bu sonucu son eşitlikte kullanırsak,

$c^2-a^2=-b^2+2.b.c.cosA\Rightarrow b^2+c^2-2bccosA=a^2$ bulunur.

Comments

teşekkür ettiğimi sanmıştım .Teşekkürler emeğiniz ve cevabınız için.

Answer 2

Bir $ABC$ ucgeni cizelim $m(A)=\theta$ ve $|BC|=a$, $|AC|=b$, $|AB|=c$ diyelim. $B$'den $AC$'ye bir dikme inelim ve dikme noktasina $D$ diyelim. O halde $|AD|=c.cos\theta$ ve $|BD|=c.sin\theta$ olur. Pisagor kuralindan $a^2=(b-c.cos\theta)^2+(c.sin\theta)^2$ olur. Ifadeyi duzenlersek $a^2=b^2-2bc.cos\theta+c^2.(sin^2\theta+cos^2\theta)$ esitligini elde ederiz. $sin^2\theta+cos^2\theta=1$ oldugundan $a^2=b^2+c^2-2bc.cos\theta$ teoremini ispatlamis oluruz.

Comments

emeğinize sağlık teşekkürler