Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
503 kez görüntülendi

$\left( 2-x\right) \left( x^{2}-2x\right) \geq 0$ eşitsizliğinin en geniş kümesi ? 

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1.3k puan) tarafından  | 503 kez görüntülendi

Cozum icin neler yaptin?

hocam tablo yapmaya çalışıyorum,x=2,ve x=0 için,tam emin olamıyorum yaptığım işlemden. :/

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Ifade $-x(x-2)^2 \geq 0$ olarak yazilabilir. Ikinci kisim $2$ haric pozitif bu nedenle ilk kisimdan $x\leq 0$ olmali. Hepsini birlestirirsek cevabi bulabiliriz.

____________________________________________________________________ 

Genel olarak mantigi basit. Polinomlar icin:

$f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ olarak carpanlarina ayrilsin ve $x_1\leq x_2\leq\cdots\leq x_n$ olsun.

$(x^2+a_1x+b_1)\cdots(x^2+a_mx+b_m)$ her zaman pozitiftir. Cunku hic koku yok ve surekli. Bir tane pozitif deger aldigini gostersek yeterli. Bunun icin sonsuza giderken limiti sonsuz diyebiliriz ya da $b_i$'lerin pozitif olmasi gerektigini bilerek $f(0)$ degerinin pozitif oldugunu soyleyebiliriz. 

Demek ki isaret icin son kismi atarak $g(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)$ polinomunu inceleyebiliriz. 

Burada $a>0$ secelim. Eger $a<0$ olursa tum isaretler yerdegistirir. Bu nedenle sadece $a>0$ icin yapsak yeterli.

Mantik su:  Eger $t<x_1$ demek ki $(t-x_i)$'lerin hepsi negatif olacak demek ki isaret $(-1)^n$ olacak. Eger $t>x_n$ ise $(t-x_i)$'lerin hepsi pozitif olacak isaret de pozitif olacak.

Kisacasi saymamiz gereken $t$ sayisinin sol tarafinda (kat sayisi ile birlikte) kac kok var. Eger $t$'nin solunda $u$ tane kok varsa isaret $(-1)^u$ olacak.

Bu durumda eger tek uslu bir kok uzerinden atlarsak $(-1)^{u+tek}=-(-1)^u$ olacagindan isaret degistirecek ve cift uslu bir kokun uzerinden atlarsak $(-1)^{u+cift}=(-1)^u$ olacagindan isaret degismeyecek.

Eger polinom bolmesi olsaydi yine solundaki kokleri sayacaktik. Daha da genellestirilebilir. Fakat mantigini anlamak icin bu kadari yeterli diye dusunuyorum.

(25.4k puan) tarafından 

hocam cidden iyi bir çözüm olmuş ama biraz zor gelebilir lys kitaplarındaki çözümlerde deltası pozitif olan tek köklerde ve çift köklerde tablo çiziliyor basitçe (ezberden) çözülüyor ama sizin çözümünüz çok zarif olmuş.

lisans kategorisinden bir adet madalya veriyorum size hocam:)http://matkafasi.com/65724/madalya-sistemi-tartismasi

Bunu yeni gordum, tesekkurler :)

20,221 soru
21,752 cevap
73,359 yorum
2,001,401 kullanıcı