Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
998 kez görüntülendi

$f(x)$ bir tam fonksiyon (kompleks düzlemin tamamında analitik) ve sıfırları, 0 noktasında $m$ katlı, bunun haricinde $a_{1}, \ldots, a_{n}, \ldots$ ise, Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi bize 

\[ f(x) = z^{m} e^{f_{1}(x)} \prod_{n=1}^{\infty} (1-\frac{z}{a_{n}})e^{p_{n}(z)} \] 

olacak şekilde $f_{1}(x)$ tam fonksiyonu ve $p_{n}(z)$ polinomları bulabileceğimizi söylüyor (not: tek şekilde belli değiller). Bu teoremi $f_{1}(x)$'e tekrar uygulayarak $f_{2}(x)$, daha sonra $f_{2}(x)$'e uygulayarak $f_{3}(x)$ vb. elde edebiliriz. 

Sorum şu: $f_{1}, f_{2}, \ldots$ dizisi bir noktadan itibaren sabit fonksiyonlardan oluşmak zorunda mı? Eğer öyleyse sabitlendiği adım sayısı $f(x)$ fonksiyonu için bir değişmez midir? 

Akademik Matematik kategorisinde (32 puan) tarafından  | 998 kez görüntülendi

$f$ fonksiyonunun büyümesi sonlu olduğu zaman $f_1$ polinom olarak alınabiliyor diye biliyordum.

Evet, $f$nin mertebesi sonlu olduğu zaman $f_{1}$ polinom olarak alinabiliyor, $f_{2}$ sabit oluyor. Genel durumda ne soylenebilir?

Ben fırsat bulunca Hadamard'ın ispatına bir bakayım. Hiç anımsamıyorum bu işleri, belki ispatı bir fikir verir.

Hadamard hep sonlu mertebe durumuyla ilgileniyordu, zira zeta fonksiyonunun mertebesi 1 ve Hadamard'in amaci da zeta fonksiyonunu kullanarak asal sayi teoremini gostermek olmali. Belki bu probleme biraz uzak kalabilir diye dusunuyorum, ama belli olmaz. 


20,282 soru
21,821 cevap
73,504 yorum
2,533,347 kullanıcı