Sürekli fonksiyonlar uzayı Noetheryan değildir!

Question

$[0,1]$ kapalı aralığından $\mathbb{R}$'ye giden sürekli fonksiyonlar uzayı $C[0,1]$'nin Noetheryan olmadığını gösterin.

Answer 1

$n\in\mathbb{N}$ olmak üzere $I_n=\{f\in C([0,1]):f(x)=0\ \forall x\in[0,\frac1n]\}$ olsun. Her bir $I_n$ bir idealdir ve $I_n\subseteq I_{n+1}$ olduğu aşikardır.  $f_n(x)=\begin{cases}0,\qquad\ \ 0\leq x\leq\frac1{n+1}\\x-\frac1{n+1},\ x>\frac1{n+1} \end{cases}$ fonksiyonu için $f_n\in I_{n+1}\setminus I_n$ olur, bu nedenle $\forall n\in\mathbb{N}$ için $I_n\subsetneqq I_{n+1}$ olur. Bu da,  halkamızın Noetheryan olmadığını gösterir.