Tam fonksiyonlar hakkında

Question

$f(x)$ bir tam fonksiyon (kompleks düzlemin tamamında analitik) ve sıfırları, 0 noktasında $m$ katlı, bunun haricinde $a_{1}, \ldots, a_{n}, \ldots$ ise, Weierstrass çarpanlara ayırma teoremi bize 

$$f(x) = z^{m} e^{f_{1}(x)} \prod_{n=1}^{\infty} (1-\frac{z}{a_{n}})e^{p_{n}(z)}$$  

olacak şekilde $f_{1}(x)$ tam fonksiyonu ve $p_{n}(z)$ polinomları bulabileceğimizi söylüyor (not: tek şekilde belli değiller). Bu teoremi $f_{1}(x)$'e tekrar uygulayarak $f_{2}(x)$, daha sonra $f_{2}(x)$'e uygulayarak $f_{3}(x)$ vb. elde edebiliriz. 

Sorum şu: $f_{1}, f_{2}, \ldots$ dizisi bir noktadan itibaren sabit fonksiyonlardan oluşmak zorunda mı? Eğer öyleyse sabitlendiği adım sayısı $f(x)$ fonksiyonu için bir değişmez midir? 

Comments

$f$ fonksiyonunun büyümesi sonlu olduğu zaman $f_1$ polinom olarak alınabiliyor diye biliyordum.

---

Evet, $f$nin mertebesi sonlu olduğu zaman $f_{1}$ polinom olarak alinabiliyor, $f_{2}$ sabit oluyor. Genel durumda ne soylenebilir?

---

Ben fırsat bulunca Hadamard'ın ispatına bir bakayım. Hiç anımsamıyorum bu işleri, belki ispatı bir fikir verir.

---

Hadamard hep sonlu mertebe durumuyla ilgileniyordu, zira zeta fonksiyonunun mertebesi 1 ve Hadamard'in amaci da zeta fonksiyonunu kullanarak asal sayi teoremini gostermek olmali. Belki bu probleme biraz uzak kalabilir diye dusunuyorum, ama belli olmaz.