Artan Fonksiyonlar İçin Young Eşitsizliği

Question

Teorem (Artan Fonksiyonlar İçin Young Eşitsizliği): $f$ gerçel değerli fonksiyonu, $c>0$ için $[0,c]$ aralığında sürekli, kesin monoton artan ve $f(0)=0$ olsun. Bu durumda her $a\in [0,c]$, $b\in [0,f(c)]$ için $$  ab \leq \int_0^{a} f(x) dx + \int_0^{b} f^{-1}(x) dx $$ olur. Ayrıca eşitlik durumunun sağlanması için gerek ve yeter şart $f(a)=b$ olmasıdır, ispatlayınız.

Not: $p>1$ olmak üzere $f(x)=x^{p-1}$ fonksiyonu $x\geq 0$ kümesinde sürekli, kesin monoton artan ve $f(0)=0$ olduğundan yukarıdaki teoremin şartları sağlanmaktadır. $\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ olmak üzere $f^{-1}(x)=x^{q-1}$ ters fonksiyondur. Buradan $$ ab \leq \dfrac{a^p}{p}+\dfrac{b^q}{q} $$ Young Eşitsizliği elde edilir. Dolayısıyla yukarıdaki teorem, daha genel bir ifadedir. Young Eşitsizliği'nin diğer ispatlarına buradan ulaşabilirsiniz.

Answer 1

$x>0$ için $f$ fonksiyonu sürekli, pozitif değerli, artan verildiğinden $f:[0,c]\to[0,f(c)]$ fonksiyonu bire bir ve örtendir. Dolayısıyla $f^{-1}$ ters fonksiyonu vardır. $f^{-1}$ fonksiyonu da sürekli, pozitif değerli ve artan olur. Dolayısıyla $$ \int_0^{a}f(x)dx $$ ve $$ \int_0^{b}f^{-1}(x)dx $$ belirli integralleri için aşağıdaki alan gösterimleri kullanılabilir. Şekle göre, kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olan dikdörtgenin alanı, renklendirilmiş alanlar toplamından büyük değilidir. Yani $$ ab\leq \int_0^{a}f(x)dx + \int_0^{b}f^{-1}(x)dx $$ olur. Ayrıca eşitlik durumu $f(a)=b$ iken sağlanır.

Not: Görsel, wikipedia'dan alınarak düzenlenmiştir.