Young Eşitsizliği. $p,q\in (1,\infty)$ ve her $x,y\in(0,\infty)$ için $\frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}\geq xy$ oldugunu ispatlayınız.

2 beğenilme 0 beğenilmeme
685 kez görüntülendi

$\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1$ eşitliğini sağlayan her  $p,q\in (1,\infty)$ ve her $x,y(0,\infty)$  için


$\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}\geq x.y$   oldugunu ispatlayınız.











dipçe; 20-30 görüntülenme oluyor, lütfen tam cevap yazmanıza gerek yok en azından bir yol gösterici ipucu veya fikir verebilirsiniz , saygılar...

25, Nisan, 2016 Lisans Matematik kategorisinde Anıl Berkcan Turker (7,757 puan) tarafından  soruldu
22, Aralık, 2016 Anıl Berkcan Turker tarafından yeniden gösterildi

p=m+n/n q=m+n/m dönüşümü yazarak başlayabilirsin sonra ortalama kullanabilirsin

Teşekkür ederim.

3 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

$$\frac1p+\frac1q=1$$ demek $$(p-1)(q-1)=1$$ demek. Bu da $$u=t^{p-1} \iff t=u^{q-1}$$ oldugunu verir. Kisacasi $t^{p-1}$ ve $u^{q-1}$ ters fonksiyonlar olurlar. Bu integraller toplaminin dikdortgenden fazla alan vercegini gozlemleyerek $$xy \le \int_0^x t^{p-1}dt+\int_0^y u^{q-1} du= \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}$$ olur.

Esitlik dikdortgen olustugunda saglanir. Bunun icin de $$x^{p-1}=y$$ olmali olur. 

25, Nisan, 2016 Sercan (24,176 puan) tarafından  cevaplandı
25, Nisan, 2016 Sercan tarafından düzenlendi

Teşekkür ederim.

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$$p=\frac{m+n}{m}, q=\frac{m+n}{n}, x=a^(1/p), y=b^(1/q)$$ olsun $$\frac{a}{(m+n)/m}+\frac{b}{(m+n)/n}=\frac{am+bn}{(m+n)}\geq(a^m.b^n)^{1/(m+n)}=x.y \ A.O\geq G.O$$   not: soru aslında doğrudan ağırlıklı aritmetik ortalamanın ağırlıklı geometrik ortalamadan büyük olduğunun da kanıtıdır. Sorunun daha yaygın kanıtı ise Jensen ile

26, Nisan, 2016 yavuzkiremici (1,760 puan) tarafından  cevaplandı

Teşekkür ederim.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Young Eşitsizliği'nin 3. İspatı (Konvekslik Kavramı İle): Logaritma fonksiyonunun pozitif gerçel sayılar kümesinde konkav fonksiyon olduğunu biliyoruz. Yani grafik üzerinden iki farklı nokta alıp bir doğru parçasıyla birleştirdiğimizde, bu doğru parçası fonksiyon grafiğinin altında kalacaktır. $x,y>0$ ve $0\leq t \leq 1$ için $$t\log x + (1-t)\log y \leq \log (tx + (1-t)y)$$ veya $$  \log  \left( x^t y^{1-t}\right) \leq \log (tx + (1-t)y) $$ olur. $ t=\dfrac{1}{p}$ denirse $1-t=\dfrac{1}{q}$ olur. $x=a^p$ ve $y=b^q$ değişken değiştirmesi yapılırsa son eşitsizlikten $$ab \leq \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q} $$ bulunur $\blacksquare$

27, Aralık, 2019 lokman gökçe (832 puan) tarafından  cevaplandı
...