Hardy-Littlewood-Sobolev eşitsizliği

Question

Teorem (H.L.S.e.): $p,r>1$ ve $0<\lambda<n$; $\frac{1}{p}+\frac{\lambda}{n}+\frac{1}{r}=2$'yi sağlayacak şekilde olsunlar. Ayrıca $f\in L^p(\mathbb{R}^n)$ ve $h\in L^r(\mathbb{R}^n)$ olsun. Öyleyse $f$ ve $h$'den bağımsız ve

$\vert \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\vert x-y\vert^{-\lambda} h(y)dxdy\vert\leq S(n,\lambda,p)\Vert f\Vert_p\Vert h\Vert_r$ (H.L.S.e.)

'yi geçerli kılan keskin bir sabit $S(n,\lambda,p)$ (=bulunabilen en iyi sabit, $\forall s>0:s<S(n,\lambda,p)$ için eşitsizlik bozulur) vardır.

$p=r=\frac{2n}{2n-\lambda}$ ise $S(n,\lambda,p)=S(n,\lambda)=\pi^{\lambda/2}\frac{\Gamma(n/2-\lambda/2)}{\Gamma(n-\lambda /2)}\left(\frac{\Gamma(n/2)}{\Gamma(n)}\right) ^{-1+\lambda/n}$'dir.

Not: $p\neq r$ için keskin bir sabit daha bulunmamış, sadece $S(n,\lambda,p)\leq\frac{n}{(n-\lambda)}(\frac{\vert\mathbb{K}^{n-1}\vert}{n})^{\lambda /n}\frac{1}{pr}\left( \left(\frac{\lambda /n}{1-1/p}\right)+ \left(\frac{\lambda /n}{1-1/r}\right)\right)$'nin olduğu biliniyor ($\vert\mathbb{K}^{n-1}\vert$; $\mathbb{R}^n$'deki birim küre $\mathbb{K}^{n-1}$'nin alanı).

Bu teorem nasıl kanıtlanabilir ve kendisinden hangi durumlarda yararlanılabilir?

Comments

Aşağıdaki linkte sorunuzun (kısmen) çözümü ile ilgili bir tez mevcut. Umarım işinize yarar.

http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~lerdos/Stud/khotyakov.pdf

---

Teşekkür ederim. Geriye sadece teoremin kullanım alanları kalıyor (tabi eğer biri -ek olarak- (başka) bir kanıtı (varsa?) yazmak istemezse).