$\left| \sin x-\sin y\right| \leq \left| x-y\right| $ eşitsizliği..

Question

$\forall x,y\in \mathbb{R} $  için  $\left| \sin x-\sin y\right| \leq \left| x-y\right| $ eşitliğini ortalama değer teoremini bilmeden nasıl gösterebiliriz?

Comments

Soru $x=y$ için doğru. $x \neq y$ oldugunda: $f(t)=sint$ diyelim. $f$ fonksiyonumuz $x$ ile $y$'nın kapalı aralığında sürekli açık aralığında türevlenebilir oldugundan Açık aralığında bir $c$ sayısı var ki

$\frac{sinx-siny}{x-y}=f^'(c)$ ve $|cosc| \leq1$.

---

Bu da gözüksün burda.

Answer 1

$|\sin x-\sin y|=2|\sin\frac{( x-y)}2\cos\frac{(x+y)}2|$ olduğunu biliyoruz buradaki çarpanlardan $|\cos(\frac{x+y}{2})|\le1$ olduğu açık. $|\sin(\frac{x-y}{2})| < \left|\frac{(x-y)}2\right|$ olduğunu biliyoruz öyle ise $|\sin x-\sin y| <|x-y|$ eşitsizliği sağlanır eğer $x-y\ne 0$ ise

Comments

Hocam burada da aynı mantığı kullanıyoruz, bunu biliyordum fakat ben sorumu yanlış sordum. Bu soru sonuç olarak şuna bağlanıyor $\forall x\in \mathbb{R} $ için $\left| \sin x\right| \leq \left| x\right| $  ifadesini ortalama değer teoremini bilmeden kanıtlamak istiyorum. $x>0$ için yaptığımız ispat $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\sin x} {x}=1$ limitini bulurken yaptığımız ispat yardımcı oluyor. Diğer bölgelerde nasıl göstereceğim soru o aslında. Cevabınız için teşekkür ederim.. 

---

ben zaten $sinx \leq x$ yazmadım ki sinx<x yazdım benimkisi daha kuvvetli ve ispatı için ortalama değer teoremine ihtiyaç birim çember çizmek yeterli

---

Bu standart çözümde Ortalama Değer Teoremi kullanılmıyor ama (Sıkıştırma Teoremi kullanılmasa bile) $\sin x < x$ eşitsizliğinin kanıtı için çemberin uzunluğu ya da dairenin (diliminin) alanının tanımlanmış olmasına ihtiyaç duyuluyor. Bunun için de integral kavramının geliştirilmiş olması gerekiyor. Bu tercihin yapılmış olduğunu açıkça yazmak istedim.