Soru x=y için doğru. x≠y oldugunda: f(t)=sint diyelim. f fonksiyonumuz x ile y'nın kapalı aralığında sürekli açık aralığında türevlenebilir oldugundan Açık aralığında bir c sayısı var ki
\frac{sinx-siny}{x-y}=f^'(c) ve |cosc|≤1.
Bu da gözüksün burda.
Hocam burada da aynı mantığı kullanıyoruz, bunu biliyordum fakat ben sorumu yanlış sordum. Bu soru sonuç olarak şuna bağlanıyor ∀x∈R için |sinx|≤|x| ifadesini ortalama değer teoremini bilmeden kanıtlamak istiyorum. x>0 için yaptığımız ispat limx→0sinxx=1 limitini bulurken yaptığımız ispat yardımcı oluyor. Diğer bölgelerde nasıl göstereceğim soru o aslında. Cevabınız için teşekkür ederim..
ben zaten sinx≤x yazmadım ki sinx<x yazdım benimkisi daha kuvvetli ve ispatı için ortalama değer teoremine ihtiyaç birim çember çizmek yeterli
Bu standart çözümde Ortalama Değer Teoremi kullanılmıyor ama (Sıkıştırma Teoremi kullanılmasa bile) sinx<x eşitsizliğinin kanıtı için çemberin uzunluğu ya da dairenin (diliminin) alanının tanımlanmış olmasına ihtiyaç duyuluyor. Bunun için de integral kavramının geliştirilmiş olması gerekiyor. Bu tercihin yapılmış olduğunu açıkça yazmak istedim.