Cauchy schwarz eşitsizliği ispatı

Question

Sitede ve internetteğe baktığım kadarıyla hep vektör kullanılarak ispatlanmış. Vektör kullanmadan bir ispat yapılabilir mi?

Answer 1

Cauchy - Schwarz Eşitsizliği: $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ve $b_1,b_2,\dots , b_n$ gerçel sayıları verilsin. $$ (a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) $$ eşitsizliği vardır.

İspat: Tam kare ifadeler negatif değer alamayacağından her $x$ gerçel sayısı için $$ (a_1x-b_1)^2 + (a_2x-b_2)^2 + \cdots + (a_nx-b_n)^2 \geq 0 $$ olmalıdır. Bu ifadeyi düzenlersek

$$ (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)x^2 -2(a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n)x + (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)  \geq 0 $$ biçiminde ikinci dereceden eşitsizliğe dönüştürebiliriz. Bu eşitsizliğin her $x$ gerçel sayısı için doğru olması için gerek ve yeter şart diskriminantın $\Delta \leq 0 $ olmasıdır.

$A=(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)$

$B=(a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n)$

$C=(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$

denirse $\Delta = 4B^2 - 4A\cdot C \leq 0$ olup $$ B^2 \leq A\cdot C$$ elde edilir. Bu ise $$ (a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) $$ eşitsizliğini verir.

Ayrıca eşitlik durumunun sağlanması için $$ (a_1x-b_1)^2 + (a_2x-b_2)^2 + \cdots + (a_nx-b_n)^2 = 0 $$ olması gerek ve yeter şarttır. Buradan $$ \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n} $$

eşitlik koşulu elde edilir.

Comments

Teşekkür ederim hocam elinize sağlık. Eşitlik için o koşul gerek şart olmalı evet peki eşitsizlikte de bir gerek koşul var mı? A.O≥G.O olduğu gibi

---

Sorunuzu tam anlamadım desem? Eşitsizliği kanıtladığımız için zaten her $a_i,b_i$ ($i=1,2,\dots , n$) gerçel sayısı için eşitsizliğin sağlanmak zorunda olduğunu göstermiş bulunmaktayız. Eşitsizliğin sağlanması için gerek ve yeter şart verilmez, o her zaman sağlanıyor. Mümkünse eşitlik durumları için gerek ve yeter şart verilir. C-S eşitsizliği

$$ (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots +a_nb_n)^2$$ için bir üst sınır veriyor. Bu üst sınır biraz daha aşağı çekilebilir mi, yoksa ifadenin maksimum değerine mi ulaştık? Bunu da bilmek isteriz. İşte bu

$$ \dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n} \tag{1}$$ oranının sağlanması, bulduğumuz o üst sınırın maksimum değer olması için gerek ve yeter şarttır. Yani $(1)$ sağlanıyorsa $$(a_1b_1+a_2b_2+\cdots + a_nb_n)^2 = (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2)$$ eşitliği olur.

Ayrıca ispatını verdiğimiz bu eşitsizliğin ilginç uygulamalarını içeren burada paylaştığım bir pdf dosyası vardır. 

---

Hocam mesela Aritmetik ortalama geometrik ortalama eşitsizliği her sayı için kullanılmıyordu, bazı sayılarda yapılamaz deniyordu onu kastettim aslıda

Döküman çok güzel olmuş hocam çok teşwkkür ederimmm

---

Sanıyorum  bir küçük düzeltme yapmalıyız. Diskriminantta $4B^2$ değil $B^2$ olmalıydı. Elinize sağlık Lokman Hocam. 

---

$B$ nin tanımında fazladan yazdığım $-2$ çarpanı vardı, onu kaldırarak düzenleme yaptım. Şimdi $\Delta = 4B^2-4AC \leq 0$ oldu. Düzeltme için teşekkürler Mehmet bey.

---

Hocam bu sabah bir uygulama yaparken aklıma takıldı, eşitsizliği unutup ispatına girmiştim sizin yardımınızla. Ama eşitlik durumu için verdiğiniz koşulun her oran için farklı x değeri için sağlandığını ve bu x değerinin $ x = \dfrac{b_1}{a_1} = \dfrac{b_2}{a_2} = \cdots = \dfrac{b_n}{a_n} $

için bulunduğunu gördüm.

Acaba böyle bir ifade kullanmak matematiksel hataya

Sebep olur mu? 

---

Yazdığınız eşitliği (1) numaralı denklem olarak kullandık ve problemi açıklarken aynı denklemi bir yerde daha yazmıştık. Yani (1) denklemini kullanmak matematiksel bir hataya sebep olmayacağı gibi, asıl onu gözardı etmek matematiksel hatalara götürebilir.

Yalnız, (1) denkleminde bazı kesirler için paydanın sıfır olduğu durumlarda payın da sıfır olması gerektiğine dikkat edilmelidir. Çünkü (1) eşitliğini elde etme yöntemimize bakılırsa $a_i$ ve $b_i$ sıfırdan farklı iken x değerini çözüyoruz. Bu katsayılar sıfır olacaklarsa, beraber sıfır olmalılar. Bu tür basit irdelemeleri yapmak eşitsizliğe daha güçlü biçimde vakıf olmanıza katkıda bulunur.