Question

Haar integrali nedir? $\frac{dx}{x}$ bir Haar integrali midir?

Comments

simdi ogrendim, bakalim dogru olacak mi. Tanimi dogru mu, eksik mi bilmiyorum, ek ozellik olan tanim da gordum.

---

Eger $X=(0,\infty)$ icin tanimlarsak dogru olur. Eger olculebilir  $S \subset X$ ve $c > 0$ icin $H(cS)=H(S)$ ise buna Haar integrali diyebiliriz. ($H(S)=\int_s\frac {dx}x$)

$\frac{d(cx)}{cx}=\frac{cdx}{cx}=\frac{dx}{x}$ ve $\ln cb-\ln ca=\ln b- \ln a$.

(eger en basitinden $[a,b]$ araligi icin dusunursek, cok kolay invariant oldugunu goruruz.)

---

$H(cS)=H(S)$ oluyorsa Haar değil de, öteleme altında değişmez ölöüm denir. İki tane daha özellik var Haar ölçümünü karakterize eden. Bir tanesi normalize edilmiş olması öteki düzgün (regular) olması. Yani ölçülebilir kümelerin ölçümünün küme içinde kalan tıkız ve ölçülebilir altkümelerin ölçümleri cinsinden tarif edilebilir olması.

---

Burdaki tanim 4'e bakmistim. 

---

Tanımda Radon ölçümü diyor. Yani düzgün :)...

---

Ben Radon'u Power Ranger gibi bir sey sanmistim :) tamam onada bakayim o zaman..

---

Hatta random diye okumusum onu :)

---

Rudin'in Real and Complex Analysis'e bak. Matematikte güzellikten söz ediyorsun ya, o bakımdan.

---

maksat ogrenmek                                  :)

Answer 1

Teknik olarak bir ölçünün Haar olabilmesi için üzerinde tanımlanan nesnenin bir yerel tıkız topolojik grup olması ve tercihen öteleme altında değişmemesi gerekir.

Mesela $dx$ eğer $\mathbb{R}$'yi toplamaya göre topolojik bir grup olarak düşünürsek bir Haar ölçüsüdür.

Bunun yanında $\frac{dx}{x}$ de bir Haar ölçüsüdür ancak grubu değiştirmek gerekir. Bu durumda almamız gereken grup $(0,\infty)$ ve çarpma operasyonudur.  Siz yukarıda bu ölçünün çarpa operasyonuna göre değişmez olduğunu göstermişsiniz.