Question

$\mathbb{Z}_{p}$ üzerindeki Haar ölçümü nedir?

Answer 1

$\mathbb{Z}_p$ toplamsal ve yerel tıkız (hatta tıkız) bir grup. O halde üzerinde bir $h$ Haar ölçümü vardır. Bütün uzayın ölçümü $1$ olduğuna göre $h(\mathbb{Z}_p)=1$ olmalı. $p\mathbb{Z}_p$ açık bir altküme olduğu için ölçülebilirdir. Öteleleme altında değişmezlik gereği, $i=0,\cdots,p-1$ için $$h(i+p\mathbb{Z}_p)=h(p\mathbb{Z}_p)$$ olur. Sol taraftaki her bir altgrup diğer hiçbir altgrupla kesişmiyor. Yani $$\mathbb{Z}_p=\bigsqcup_{i=0}^{p-1}(i+p\mathbb{Z}_p)$$ ve $$1=h(\mathbb{Z}_p)=p\cdot h(p\mathbb{Z}_p)$$

$p^n\mathbb{Z}_p$ açık altgrubunun ölçümü de benzer biçimde bulunabilir.