Question

Düzgün sürekli bir fonksiyonun sürekli olduğunu gösteriniz. Karşıtının doğru olmadığına ilişkin bir örnek veriniz.

Answer 1

Öncelikle soruda geçen kavramları tekrar hatırlayalım:

Tanım: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall y\in X)(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$

$------------------------------------$

Tanım: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ düzgün sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$

$------------------------------------$

Teorem: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ düzgün sürekli}\Rightarrow f, \,\ (X\text{'de}) \text{ sürekli}.$$

İspat: $(X,d_1),(Y,d_2)$ metrik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olsun.

$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ düzgün sürekli}$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$

$$\overset{?}{\Rightarrow}$$

$$(\forall y\in X)(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(d_1(x,y)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(y))<\epsilon)$$

$$\Rightarrow$$

$$f, \,\ (X\text{'de}) \text{ sürekli}.$$

$------------------------------------$

$$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu $(\mathbb{R}\text{'de})$ sürekli olmasına karşın aynı $f$ fonksiyonu $(\mathbb{R}\text{'de})$ düzgün sürekli değildir. Şöyle ki:

$\epsilon =1$ olmak üzere $\delta>0$ sayısı ne olursa olsun $x=\frac{1}{\delta}$ ve $y=\frac{\delta}{2}+\frac{1}{\delta}$ alınırsa $$|x-y|=|\frac{1}{\delta}-\frac{\delta}{2}-\frac{1}{\delta}|=\frac{\delta}{2}<\delta \wedge |f(x)-f(y)|=|\frac{1}{\delta^2}-\frac{1}{\delta^2}-1-\frac{\delta^2}{4}|=1+\frac{\delta^2}{4}\geq 1$$ koşulu sağlanır yani $$(\forall \epsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x\in X)(\forall y\in X)(|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\epsilon)$$ önermesinin değili olan $$(\exists \epsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x\in X)(\exists y\in X)(|x-y|<\delta\wedge |f(x)-f(y)|\geq \epsilon)$$ önermesi doğru olur.