"islemin tanimi nedir?" OSYM icin...

Question

Soru 1: 

Ben $A\times A \to A$ olan fonksiyonlara (ikili) islem diyorum. Bu tanimi kullaniyorum.

Fakat "islem kapali midir" sorusunu goruyorum. Demek ki kapalilik ozelligi alinmiyor. Bunu da arastirdim: 

"$A \subset B$ olmak uzere $A\times A \to B$ bir islemdir" diyen gordum. Bunu dogru kabul edersek elbet kapalilik ozelligini arastirilabilir.

Peki bu tanima tamam diyeyim. Bu durumda $A \subset C$ ve $B \subset C$ icin $A \times B \to C$ fonksiyonuna islem demem neden engelleniyor. Ya da neden hicbir kosul koymadan $A \times B \to C$ fonksiyonuna islem demiyorum? ya da islemin tanimi bu mu?


Soru 2:

OSS tarzi sinavlarinda hangi tanim kullaniliyor? Neden o tanim secilmis. Kaynak verebilir misiniz?

________________________________________

Ek: OSYM cikmis sorulara da baktim biraz, baktigim sorularda hep "... kumesi uzerinde tanimli islem" diyor. 

Burada da OSYM cikmis islem sorulari videosu var.

Comments

Eğer $A$'da (ikili) işlem tanımı $A^2$'den $A$'ya fonksiyon şeklinde yapılırsa bu durumda videodaki $7.$ ve $9.$ sorularda verilen bağıntılar birer fonksiyon olmadığı için birer işlem BELİRTMEZ. Ayrıntılar az sonra. Toparlamaya çalışıyorum.

---

Oradaki soruma da donmemissin :) O soru da mi bu amacli?

---

Orada Özgür bey benim yazacaklarımı yazdığı için ayrıca bir şey yazmadım.

---

Cevabi gormemisim, cevapsiz sandim o an icin o soruyu. Tesekkurler. 

Fakat yinede biri bu soruya OSYM'nin fikrini eklerse sevinirim. Gidip konusacam OSYM ile :)

---

Ben kendi yaklaşımımı aşağıda aktarmaya çalıştım.

---

$2016$ YGS sınavında yine bir işlem sorusu var. Sorular buradaki linke eklenmiş. 14. soru ve $\mathbb{R}^+$ üzerinde tanımlanmış.

Answer 1

Tanım 1 (İşlem): $A_1,\ldots ,A_n$ ve $B$  boş olmayan kümeler olmak üzere $A_1\times \ldots \times A_n$ kümesinin bir $\alpha$ altkümesinden $B$’ye bir $f$ fonksiyonuna bir $n$-li (dış) işlem denir. $\alpha$’ya $f$ işleminin “domain”i denir. $A_1=\ldots =A_n=B=A$ ise $A^n$’nin bir altkümesinden $A$’ya bir fonksiyona $A$’da bir $n$-li (iç) işlem denir.

$$f, \,\ n\text{-li dış işlem}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\alpha\subseteq A_1\times \dots \times A_n)(f\in B^{\alpha})$$

$$\text{}$$

$$f, \,\ A\text{’da } n\text{-li (iç) işlem}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\alpha\subseteq A^n)(f\in A^{\alpha})$$

Bu husus üzerinde ben de zamanında çok düşündüm. Hatta bu husus ile ilgili şu linkte bir başlık ta açmıştım. Şimdi bazı kitaplarda rastladığım tanımları ve kapalılık ile ilgili yazan bilgilerden bahsetmek istiyorum. Öncelikle kendi tercih ettiğim ve 2015 yılında basılan Soyut Matematik adlı kitabımızda da aşağıda verdiğim gibi ele aldığımız işlem tanımından bahsedeyim.

Tanım 2 (Bir Küme Üzerinde İkili İç İşlem): Bir kümenin kartezyen karesinin bir altkümesinden bu kümeye bir fonksiyona bu kümede bir $2$-li iç işlem (kısaca işlem) denir. Bir $(x,y)$ ikilisinin bir $f$ işlemi altındaki görüntüsü genellikle $xfy$ biçiminde gösterilir. $f$ yerine çeşitli işlem sembolleri kullanılır.

$$f, \,\ A\text{’da } (2\text{-li})  \text{ işlem}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\exists\alpha\subseteq A^2)(f:\alpha\to A)(f((x,y)):=xfy)$$

Örnek 1. $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$'deki adi işlemler:

$$+ :\mathbb{N}^2\to\mathbb{N}, \,\ +((x,y))=x+y$$

$$- :\{(x,y)|y\leq x\}\to\mathbb{N}, \,\ -((x,y))=x-y$$

$$\times :\mathbb{N}^2\to\mathbb{N}, \,\ \times((x,y))=x\times y$$

$$\div:\{(x,y)|x=ky, k\in\mathbb{N}\}\to\mathbb{N}, \,\ \div((x,y))=\frac{x}{y}$$

Comments

*Not (İşlem (Operasyon) Kavramı Üzerine): Bu kitapta, "Bir $A$ kümesinde ikili işlem (operation)" kavramı "$A\times A$’nın bir altkümesinden $A$’ya bir fonksiyon” olarak tanımlanmıştır. Kısaca "işlem" dediğimiz bu kavram, ülkemizde $1968$’de "Modern Matematik" adıyla başlatılan matematik programlarında da buradaki gibi ele alınmıştır. "Kapalı işlem" ise, "$A´A$’dan $A$’ya bir işlem (*)" olarak tanımlanır. Fakat klasik kitapların birçoklarında, "kapalı işlem" tanımı "işlem" tanımı olarak verilmiştir. Bu bir tanım meselesidir ve bir çelişkiye yol açmadığı sürece tanımlara karışılmaz! Fakat “işlem” kavramı $(A´A$’nın bir altkümesinden değil de) “$A\times A$’dan $A$’ya bir fonksiyon" olarak tanımlanırsa, bunun ardından aynı tanım verilerek "kapalı işlem" diye bir kavram da ortaya atılırsa matematiğin zarafeti ve dakikliği zedelenmiş olur. Bazı kitaplarda ise "işlem" kavramı "$A\subset B$ olmak üzere $A´A$'dan $B$'ye fonksiyon” olarak tanımlanmıştır. Bu tanıma göre ise bir "*" işlemi $A$’nın herhangi iki $x,y$ elemanı için, $x*y$ ve $y*x$’in ikisinin de tanımlı olmasını gerektirmektedir. Oysa kapalı olmayan işlemler için bunlardan biri (ya da ikisi birden) tanımlı olmayabilir. Klasik matematikte "iyi tanımlılık" denilen "bir ikiliye karşılık birden çok elemanın karşılık gelmemesi" koşulu ise işlemin bir fonksiyon olmasının gereğidir. $A\times A’$dan $A$’ya bir $*$ işlemi,  $*:A\times A \to A$ biçiminde bir fonksiyondur ve o halde bir fonksiyon olmanın 

$$i. (x,y)=(z,t)\Rightarrow x*y=z*t \text{ (iyi tanımlılık)}$$

$$ii. (x,y)\in A\times A\Rightarrow x*y\in A \text{ (kapalılık)}$$

$$(\forall x,y\in A, x*y\in A)$$

koşullarını (zaten) yerine getirir. Bir $*$ işlemi $(ii)$ koşulunu sağlarsa kapalı, aksi halde yani

$$"\exists x,y\in A, x*y\notin A"$$

ise "kapalı olmayan" bir işlem olur. Matematikte yeni kavramlarla ilgili yapılan tanımlar daha önceki tanımlar, varsayımlar ve teoremlerle çelişmemeli ve uyum içinde olmalıdır. Özellikle de bunların ifadelerinde dakiklik ve kesinlik zorunluluğu vardır. Türkçe, İngilizce vs gibi ulusal diller matematiksel kesinliği bir ölçüde sağlayabilirse de, matematiksel kesinlik, hangi ulustan olurlarsa olsunlar herkesin aynı şeyi (tam tamına-ne eksik ne fazla) anlayabilmesini sağlayan "Matematiğin Evrensel Sembolik Dili" ile sağlanır. $A\times A$’nın altkümesi olan $\alpha$'nın boş küme olması halinde işleme "$A$’da boş işlem" denir. $\phi :\emptyset^2\to A$ işlemi, kapalılık, birleşme, değişme vs gibi özellikleri sağlar. (Neden?). $A=\emptyset$ olması halinde de $\phi:\emptyset^2\to\emptyset$ işlemi söz konusu edilebilir. Bazı kaynaklarda böyle bir kavramın gereksiz olacağı düşünülüp $\alpha\neq\emptyset$ ve $A\neq\emptyset$ kabul edilmektedir. Bu bir tanım meselesidir; fakat bir $A$ kümesindeki işlemlere $\phi$ işlemin de dâhil edilmesi bazı sayma problemleri için “daha estetik” denilebilecek formülasyonları sağlamaktadır. Örnek olarak, $n$ elemanlı bir kümedeki tüm işlemlerin sayısı:

$$\sum_{k=0}^{n\times n}\dbinom{n\times n}{k}n^k=(n+1)^{n^2}$$

Tanım 3 (Kapalılık Özelliği): Bir $A$ kümesindeki bir $*$ işlemi eğer $A^2$’den $A$’ya ise, yani her $(x,y)\in A^2$ için tanımlıysa buna $A$’da kapalı işlem denir.

$$*, A\text{’da kapalı işlem}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$*:A^2\to A$$

$$(\forall x,y\in A, x*y\in A)$$

Tüm bunları söyledikten sonra değişme özelliği, birleşme özelliği, birim eleman, ters eleman vs gibi kavramları KAPALI işlemlerde söz konusu edeceğiz diyorum. Tıpkı bir $A$ kümesi üzerinde tanımlı bağıntılarda söz konusu olan yansıma, simetri, ters simetri, geçişme vs özellikleri söz konusu ettiğimiz gibi. Malum $A$'dan $B$'ye tanımlı bağıntılarda yansıma, simetri, ters simetri, geçişme vb özellikler mevzu bahis değildir.

---

8000 karakterden fazlasını sistem kabul etmediği için cevabın devamını yorum kısmına yazdım.

---

Örnek 2.  $A={a,b}$ kümesindeki tüm işlemler:

$f_1:\emptyset\to A$

$f_2:{(a,a)}\to A, a f_2 a = a$

$f_3:{(a,a)}\to A, a f_3 a = b$

$f_4:{(a,b)}\to A, a f_4 b = a$

$f_5:{(a,b)}\to A, a f_5 b = b$

$f_6:{(b,a)}\to A, b f_6 a = a$

$f_7:{(b,a)}\to A, b f_7 a = b$

$f_8:{(b,b)}\to A, b f_8 b = a$

$f_9:{(b,b)}\to A, b f_9 b = b$

$f_{10}:{(a,a),(a,b)}\to A, a f10 a = a, a f10 b = a,$

$f_{11}:{(a,a),(a,b)}\to A, a f11 a = a, a f11 b = b,$

$f_{12}:{(a,a),(a,b)}\to A, a f12 a = b, a f12 b = a,$

$f_{13}:{(a,a),(a,b)}\to A, a f13 a = b, a f13 b = b,$

$f_{14}:{(a,a),(b,a)}\to A, a f14 a = a, b f14 a = a,$

$f_{15}:{(a,a),(b,a)}\to A, a f15 a = a, b f15 a = b,$

$f_{16}:{(a,a),(b,a)}\to A, a f16 a = b, b f16 a = a,$

$f_{17}:{(a,a),(b,a)}\to A, a f17 a = b, b f17 a = b,$

$f_{18}:{(a,a),(b,b)}\to A, a f18 a = a, b f18 b = a,$

$f_{19}:{(a,a),(b,b)}\to A, a f19 a = a, b f19 b = b,$

$f_{20}:{(a,a),(b,b)}\to A, a f20 a = b, b f20 b = a,$

$f_{21}:{(a,a),(b,b)}\to A, a f21 a = b, b f21 b = b,$

$f_{22}:{(a,b),(b,a)}\to A, a f22 b = a, b f22 a = a,$

$f_{23}:{(a,b),(b,a)}\to A, a f23 b = a, b f23 a = b,$

$f_{24}:{(a,b),(b,a)}\to A, a f24 b = b, b f24 a = a,$

$f_{25}:{(a,b),(b,a)}\to A, a f25 b = b, b f25 a = b,$

$f_{26}:{(a,b),(b,b)}\to A, a f26 b = a, b f26 b = a,$

$f_{27}:{(a,b),(b,b)}\to A, a f27 b = a, b f27 b = b,$

$f_{28}:{(a,b),(b,b)}\to A, a f28 b = b, b f28 b = a,$

$f_{29}:{(a,b),(b,b)}\to A, a f29 b = b, b f29 b = b,$

$f_{30}:{(b,a),(b,b)}\to A, b f30 a = a, b f30 b = a,$

$f_{31}:{(b,a),(b,b)}\to A, b f31 a = a, b f31 b = b,$

$f_{32}:{(b,a),(b,b)}\to A, b f32 a = b, b f32 b = a,$

$f_{33}:{(b,a),(b,b)}\to A, b f33 a = b, b f34 b = b,$

$f_{34}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f34 a = a, a f34 b = a, b f34 a = a,$

$f_{35}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f35 a = a, a f35 b = a, b f35 a = b,$

$f_{36}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f36 a = a, a f36 b = b, b f36 a = a,$

$f_{37}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f37 a = b, a f37 b = a, b f37 a = a,$

$f_{38}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f38 a = a, a f38 b = b, b f38 a = b,$

$f_{39}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f39 a = b, a f39 b = a, b f39 a = b,$

$f_{40}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f40 a = b, a f40 b = b, b f40 a = a,$

$f_{41}:{(a,a),(a,b),(b,a)}\to A, a f41 a = b, a f41 b = b, b f41 a = b,$

$f_{42}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f42 a = a, a f42 b = a, b f42 b = a,$

$f_{43}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f43 a = a, a f43 b = a, b f43 b = b,$

$f_{44}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f44 a = a, a f44 b = b, b f44 b = a,$

$f_{45}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f45 a = b, a f45 b = a, b f45 b = a,$

$f_{46}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f46 a = a, a f46 b = b, b f46 b = b,$

$f_{47}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f47 a = b, a f47 b = a, b f47 b = b,$

$f_{48}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f48 a = b, a f48 b = b, b f48 b = a,$

$f_{49}:{(a,a),(a,b),(b,b)}\to A, a f49 a = b, a f49 b = b, b f49 b = b,$

$f_{50}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f50 b = a, b f50 a = a, b f50 b = a,$

$f_{51}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f51 b = a, b f51 a = a, b f51 b = b,$

$f_{52}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f52 b = a, b f52 a = b, b f52 b = a,$

$f_{53}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f53 b = b, b f53 a = a, b f53 b = a,$

$f_{54}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f54 b = a, b f54 a = b, b f54 b = b,$

$f_{55}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f55 b = b, b f55 a = a, b f55 b = b,$

$f_{56}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f56 b = b, b f56 a = b, b f56 b = a,$

$f_{57}:{(a,b),(b,a),(b,b)}\to A, a f57 b = b, b f57 a = b, b f57 b = b,$

$f_{58}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f58 a = a, b f58 a = a, b f58 b = a,$

$f_{59}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f59 a = a, b f59 a = a, b f59 b = b,$

$f_{60}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f60 a = a, b f60 a = b, b f60 b = a,$

$f_{61}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f61 a = b, b f61 a = a, b f61 b = a,$

$f_{62}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f62 a = a, b f62 a = b, b f62 b = b,$

$f_{63}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f63 a = b, b f63 a = a, b f63 b = b,$

$f_{64}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f64 a = b, b f64 a = b, b f64 b = a,$

$f_{65}:{(a,a),(b,a),(b,b)}\to A, a f65 a = b, b f65 a = b, b f65 b = b,$

$f_{66}:A^2 \to A, a f66 a = a, a f66 b = a, b f66 a = a, b f66 b = a,$

$f_{67}:A^2 \to A, a f67 a = a, a f67 b = a, b f67 a = a, b f67 b = b,$

$f_{68}:A^2 \to A, a f68 a = a, a f68 b = a, b f68 a = b, b f68 b = a,$

$f_{69}:A^2 \to A, a f69 a = a, a f69 b = b, b f69 a = a, b f69 b = a,$

$f_{70}:A^2 \to A, a f70 a = b, a f70 b = a, b f70 a = a, b f70 b = a,$

$f_{71}:A^2 \to A, a f71 a = a, a f71 b = a, b f71 a = b, b f71 b = b,$

$f_{72}:A^2 \to A, a f72 a = a, a f72 b = b, b f72 a = a, b f72 b = b,$

$f_{73}:A^2 \to A, a f73 a = a, a f73 b = b, b f73 a = b, b f73 b = a,$

$f_{74}:A^2 \to A, a f74 a = b, a f74 b = a, b f74 a = a, b f74 b = b,$

$f_{75}:A^2 \to A, a f75 a = b, a f75 b = a, b f75 a = b, b f75 b = a,$

$f_{76}:A^2 \to A, a f76 a = b, a f76 b = b, b f76 a = a, b f76 b = a,$

$f_{77}:A^2 \to A, a f77 a = a, a f77 b = b, b f77 a = b, b f77 b = b,$

$f_{78}:A^2 \to A, a f78 a = b, a f78 b = a, b f78 a = b, b f78 b = b,$

$f_{79}:A^2 \to A, a f79 a = b, a f79 b = b, b f79 a = a, b f79 b = b,$

$f_{80}:A^2 \to A, a f80 a = b, a f80  b = a, b f80 a = b, b f80 b = a,$

$f_{81}:A^2 \to A, a f81 a = b, a f81 b = b, b f81 a = b, b f81 b = b.$

---

Not 5.pdf (0,2 MB)

Download the PDF: Not 5.pdf