Şimdi Sor!

İkili İşlem

1 beğenilme 0 beğenilmeme
3,874 kez görüntülendi

İkili işlem tanımını nasıl yapıyorsunuz?

25, Mart, 2015 Lisans Matematik kategorisinde murad.ozkoc (9,635 puan) tarafından  soruldu

Yani halkadaki gibi ikili işlem mi? Kaç çeşit ikili işlem olur mu? Ya da bilemedim. Soru benim için net değil.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Sözü edilen ikili işlem ile ingilizcedeki binary operation kavramının karşılığı kast ediliyor sanırım. Bu vakti zamanında benim de kafamı biraz kurcalamıştı. Bu operasyon ne ola ki, ne ola ki diye diye. Aslında ortada bir şey yok, ikili işlem diye, toplama çarpma gibi bir işlem yok. Burada bir $X$ kümesi üzerindeki ikili işlem denildiğinde anlatılan $$X\times X$$ kümesinden $X$ kümesine giden bir fonksiyondur. Yani, $X$ kümesi üzerindeki ikili işlem alalım demek $$f:X\times X\longrightarrow X$$ gibi bir fonksiyon alalım demek. İkili işlem değişmeli demek mesela $$f(x,y)=f(y,x)$$ demek. Aldığımız ikili işlemin birleşme özelliğini sağlaması demek $$f(f(x,y)z)=f(xf(y,z))$$ demek. Ama bunları uzun yazmak uzun olduğu için $f(x,y)$ yerine $$xy$$ yazarız. Bu durumda değişmeli olma özelliği $$xy=yx$$ eşitliğine, birleşme özelliği $$(xy)z=x(yz)$$ eşitliğine dönüşür.


Sonuç: $X$ üzerinde ikili işlem demek $X\times X$ kümesinden $X$ kümesine fonksiyon demek. Yani bunu tanımlamak, bir fonksiyon demek.


Sonu: $3$'lü işlem ne demek?

25, Mart, 2015 Safak Ozden (3,408 puan) tarafından  cevaplandı

Peki bölme $\mathbb{R}$'de bir işlem midir? Sizin tanımınıza göre hayır. O zaman bölmeye işlem demeyecek miyiz?

$\mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bolme islemi olsun. $(1,0)$'in goruntusu var mi? Zaten bolmeye $\mathbb{R}$'de bir islem demiyoruz. Hep sifiri bir kenara ayiriyoruz.

Evet. $X=\mathbb{R}^*$ dersek olur.

Özgür beye katılıyorum. O halde ikili işlem tanımının şöyle yapılması daha uygun olacaktır.

"$A$ herhangi bir küme ve $\alpha \subset A^2$ olmak üzere $f:\alpha \rightarrow A$ şeklindeki her fonksiyona $A$'da bir ikili işlem (kısaca işlem) denir. Özel olarak $\alpha=A^2$ ise işleme kapalı işlem denir. Bu tanımlamalara göre bölme $\mathbb{R}$'de bir işlemdir ancak kapalı değildir."

şeklindeki açıklamalarım hakkında ne düşünürsünüz?

Ben bolmeye $\mathbb{R}$ uzerinde bir islem dememeyi, yeni bir tanim vermeye tercih ederim. Safak Ozden'in verdigi tanim hem cok kullanisli, hem de bir o kadar sade. 

Ama $\alpha \subset A^2$ alt kumesi icin cok fazla secenek var. Ve buyuk ihtimalle her $\alpha$ guzel bir sonuc vermeyecek. Mesela, $\alpha$ bos kumeyse ya da $\alpha$'nin eleman sayisi 1 ise o zaman pek de ise yarar bir sey elde etmis olmuyoruz. Ya da ornegin $(a,b) \in \alpha$ ama $(b,a) \notin \alpha$ olabilir. Ha mesela $\alpha = A \times B$ seklinde bir kumedir ve $B$ bir $A$-moduldur. O zaman bir nebze mantikli bir islem yapmis oluruz ama ben yine de bu isleme ikili islem demenin dogru olacagini sanmiyorum. Ya da baska bir ornek olarak $(a,b), (c,d) \in \alpha$ ve $(a,d), (c,b) \notin \alpha$ olabilir.

Sanirim bir kume uzerinde ikili islemden isteyebilecegimiz en masum sey bir "carpim tablosu" ya da islem tablosu olabilir. Bunun da genelde "kare" seklinde olmasini isteriz (Kardinaliteden bagimsiz olarak boyle bir kareyi hayal edebiliriz heralde, sayilabilirlikten bahsetmiyorum.). Ama $\alpha$ herhangi bir kume olursa bunu elde edemiyoruz.

Her seyi bir kenara birakacak olursak, ben bu tanimin neden yararli olacagini goremiyorum. Benim 'islem' denince aklima gelen Safak Ozden'in tanimi. Hatta $X \otimes X \to X$ seklinde bir fonksiyon. Ama $\alpha \subset A^2$ olacak sekilde bir tanim "bolmeye islem demek"ten baska bir amaca hizmet edecekse, sapkami onume alir eyvallah derim.


Peki Özgür bey ikili işlem tanımını Şafak ÖZDEN beyin verdiği gibi alırsak kapalı işlem tanımını nasıl vereceksiniz?

Bunlar genellikle ayrıntılar. Zira elde genelde işleme benzer bir şey olur ve o anlaşılmaya çalışılır ya da bir küme olur vs. İnsanlar da işlerine geldiği gibi tanımı yaparlar. Pekala $A$ üzerinden tanımlı değerleri $B$'de olan ikili işlem de tanımlanabilir aynı doğallıkla. 


Kapalı işlem tanımı da buna göre değişiklik gösterir. Bu yenisine göre $B\subseteq A$ ise işleme kapalı deriz. Diğer durumda ise, yani işl tanımda ise, işlemin kapalılığından söz edilmez. O durumda, altkümelerin işlem altında kapalılığından söz edilir. Ama sonuçta bunlar hep aynı ya da neredeyse aynı kapılara çıkan tanımlar. Hangisi çalışılan duruma daha uygunsa o tanım kullanılabilir. Ya da başka bir tanım da verilebilir.


$X\otimes X$ ile ne anlatmak istediğinizi anlayamıyorum ama. Böyle bir şeyde söz etmeniz için elinizde hali hazırda bir halka ve $X$ üzerinde en azından bir modül yapınızın olması gerek. Çok özel bir yapı yani. Burayla ne ilgisi olduğunu anlayamadım.

Sizin de ifade ettiğiniz gibi $A$ üzerinde tanımlı değerleri $B$'de olan ikili işlem de tanımlanabilir. Bu tür işlemlere ikili dış işlem diyoruz. Ben ikili işlem (kısaca işlem) derken ikili iç işlemi kastediyorum.
 
...