Süreklilik

Question

$$d_1:\mathcal{C}[0,1]\times \mathcal{C}[0,1]\to \mathbb{R}, \,\ d_1(x,y):=\left(\int_{0}^{1}|x(t)-y(t)|^2dt\right)^{\frac12}$$ ve $$d_2:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \,\ d_2(a,b):=|a-b|$$ olmak üzere

$$f(x)=x(1)$$

kuralı ile verilen

$$f:\mathcal{C}[0,1]\to \mathbb{R}$$

fonksiyonu sürekli midir? Cevabınızı kanıtlayınız.

Not: $\mathcal{C}[0,1]:=\{f|f:[0,1]\to \mathbb{R} \text{ sürekli}\}$

Comments

$f:\mathcal{C}[0,1]\to \mathbb{R}, f(x)=x(1)$ ve $a\in\mathcal{C}[0,1]$ olsun. 

$$f, \,\ a\text{'da sürekli}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon >0)(\exists\delta>0)(\forall x\in \mathcal{C}[0,1])(d_1(x,a)<\delta\Rightarrow d_2(f(x),f(a))<\epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon >0)(\exists\delta>0)(\forall x\in \mathcal{C}[0,1])\left(\left(\int_{0}^{1}|x(t)-a(t)|^2dt\right)^{\frac12}<\delta\Rightarrow |x(1)-a(1)|<\epsilon\right)$$

$$f, \,\ a\text{'da süreksiz}$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$f, \,\ a\text{'da sürekli değil}$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\exists\epsilon >0)(\forall\delta>0)(\exists x\in \mathcal{C}[0,1])(d_1(x,a)<\delta \wedge d_2(f(x),f(a))\geq \epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\exists\epsilon >0)(\forall\delta>0)(\exists x\in \mathcal{C}[0,1])\left(\left(\int_{0}^{1}|x(t)-a(t)|^2dt\right)^{\frac12}<\delta\wedge |x(1)-a(1)|\geq\epsilon\right)$$