Yoğun altuzay

Question

$V$ normlu bir uzay $V_0$ da onun bir altuzayı olsun. Diyelim ki öyle bir $c\in(0,1)$ reel sayısı var ki $V$'deki her $v$ elemanı için $$\inf_{w\in V_0}|w-v|\leq c|v|$$ eşitsizliği sağlanıyor. Bu durumda $V_0$ altuzayı $V$ içinde yoğundur. 

Bu iddia doğru mudur? Doğruysa nasıl ispatlarsınız, değilse karşı örnek verebilir misiniz?

Not: Bu soru akademik değil elbette ama lisans için de bana sanki biraz zor olabilir gibi geldi. Tabii ki sorunun bir yanıtı var, ben yalnızca ne olduğunu söylemek istemedim.

Answer 1

$v\in V$ olsun. $v\in \overline{V_0}$ olduğunu gösterirsek iş biter.

$$\inf_{w\in V_0} |w-v|\leq c|v|$$

$$\Rightarrow$$

$$(\forall \epsilon >0)(\exists w_0\in V_0)\inf_{w\in V_0} |w-v|\leq |w_0-v|<\inf_{w\in V_0}|w-v|+\frac{\epsilon}{2}$$

$$\Rightarrow$$

$$|w_0-v|<c|v|+\frac{\epsilon}{2}\ldots (1)$$

$$c:=\frac{\epsilon}{2|v|}\ldots (2)$$

$$(1),(2)\Rightarrow |w_0-v|<c|v|+\frac{\epsilon}{2}=\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon$$

$$\Rightarrow$$

$$w_0\in B(v,\epsilon)$$

$$\Rightarrow$$

$$B(v,\epsilon)\cap V_0\neq \emptyset$$

$$\Rightarrow$$

$$v\in \overline{V_0}.$$  

Çok iyi ifade edemedim ama anlaşılıyor sanırım.

Comments

Peki boyle bir $V_0$ altuzayi ornegi var midir gercekten?

---

Bu ...(2)'deki c tanımını nasıl yaptık, sabit değil mi o, her v için? Hem v'nin boyuna göre 1'i aşamaz mı değeri?

---

$c$ sabit. Şunu alalım diyemiyoruz. Sabit bir $c$ için doğru olduğunu biliyoruz. Aslında ispatlanması gereken sabit $c$ varsa istenilen ufaklıkta $c$ de vardır bir anlamda.

---

Özgür, yoğun her altuzay bu şartı sağlıyor.

---

Usta, yalnız yanıt yanlış. Yukarıda açıklamaya çalışmıştım.