Question

$\sin1+\sin2+\sin3+\cdots+\sin n$ toplamini en sadece sekilde nasil yazabiliriz?

$\sin1+\sin2+\sin3+\cdots+\sin n=\frac{\sin(\frac{n+1}{2})\sin{(\frac{n}{2})}}{\sin(\frac12)}$ gozlemi doru mu acaba? Dogruysa nasil ispatlariz.

Not: sinus fonksiyonunun icerisi derece cinsinden..

Comments

Sercan Hocam eşitliğe A deyip 2sin(1/2) ile genisletirsek kolayca geliyor...

---

ben tumevarim yonteminin uygulamasi olsun diye sordum bunu hocam. bir de toplam ilginc derece de basit bir hal aliyor, hosuma gitti. Lise ogrencileri icin guzel bir gozlem ve tumevarim ornegi diye dusundum.

bir de dedigin sekilde nasil oluyor hocam, onu cevap olarak ekleyebilir misin, ben de digerini eklerim, ogrenciler yararlanir?

Answer 1

Tümevarım sonucu keşfetmekten çok var olanın doğruluğunu göstermek gibi gelmiştir bana. Bu yüzden beni çok tatmin etmez. Okulda çocuklara yöntemi öğretirim ama 1^2+2^2+3^2+...+n^2 gibi toplamlamlari önce (k+1)^n-k^n acilimlarini kullanarak ispat ederim. Çünkü her akıllı öğrencim eşitliklerin nasıl bulunduğunu her zaman sormuştur. Bunu tümevarımla açıklamak pek mumkun olmaz,sadece eşitliklerin doğruluğunu gösteririz.

Comments

Ben de tumevarim ispatini ekleyeyim:

$n=1$ ise $\sin1=\frac{\sin{(\frac{1+1}2) \sin(\frac 12)}}{\sin\frac 12}$ dogru.

Simdi $n$ icin dogru oldugunu kabul edelim:

     $\sin 1+\sin 2+\cdots+\sin n+ \sin(n+1)$
$=(\sin 1+\sin 2+\cdots+\sin n)+ \sin(n+1)$
$=\frac{\sin{(\frac{n+1}2) \sin(\frac n2)}}{\sin(\frac 12)}+\sin (n+1)$
$=\frac{\sin{(\frac{n+1}2) \sin(\frac n2)}+\sin (n+1)\sin(\frac 12)}{\sin(\frac 12)}$

Ust kismin $\sin{(\frac{(n+1)+1}2) \sin(\frac {n+1}2)}$ oldugunu gosterirsek, isimiz biter. Bu kisim da ilgilenenlere odev olsun.

---

Teşekkürler Sercan Hocam...

Answer 2

Euler’in ünlü formülünü ve geometrik dizi toplamını kullanırsanız, reel ve sanal kısımları ayrıştırarak, aynı anda hem sin(kx)’lerin ve hem de cos(kx)’lerin toplamını bulursunuz (tek kurşunla iki kuş…)