$1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = \left[ \dfrac {n\cdot \left( n+1\right) }{2}\right] ^{2}$ önermesi ve tümevarım

Question

$1^3 + 2^3+ 3^3 + ... + n^3 = \left[ \dfrac {n\cdot \left( n+1\right) }{2}\right] ^{2}$

Önermesinin doğruluğunu tümevarım yöntemiyle ispatlayınız.

Benim denediğim yöntemler

n = 1 için P(1) : $1^3 = \left[ \dfrac {1\cdot \left( 1+1\right) }{2}\right] ^{2}$ $=>  1=1$

n=k için P(k) : $1^3 + 2^3+ 3^3 + ... + k^3 = \left[ \dfrac {k\cdot \left( k+1\right) }{2}\right] ^{2}$

n=k+1 için P(k+1) : $1^3 + 2^3+ 3^3 + ... + (k+1)^3 = \left[ \dfrac {(k+1)\cdot \left( k+1+1\right) }{2}\right] ^{2}$

P(k)'da her iki tarafa da $(k+1)^3$ ' ünü ekliyorum fakat sonuca ulaşamıyorum.

Comments

Biraz once duzenledigim sorun gibi bunu da duzenleyebilir misin? Baslik ve etiket olarak...

---

$(k(k+1)/2)^2+(k+1)^3$ bunu topladin degil mi?

---

Evet..........

---

islemlerini bir goster, hatan varsa nerede oldugunu goruruz... 

---

$\begin{aligned}\dfrac {\left[ k\left( k+1\right) \right] ^{2}}{2^{2}}+\left( k+1\right) ^{3}\\ =\dfrac {k^2\cdot \left( k+1\right) ^{2}}{2^{2}}+\left( k+1\right) ^{3}\end{aligned}$

$=\dfrac {k^{2}\cdot \left( k+1\right) ^{2}+2^{2}\left( k+1\right) ^{3}}{2^{2}}$

Burada takıldım 

---

Yukariyi $(k+1)^2$ parantezine alarak devam edebilirsin.

---

$\dfrac {\left( k+1\right) ^{2}\cdot \left[ k^{2}+2^{2}\cdot \left( k+1\right) \right] }{2^{2}}$

---

Devam et... 2^2 ac, parantezi dagit, sonra ifadeyi istegine gore duzelt vs.


Bence biraz carpanlara ayirma, polinomlari duzenleme vs gibi konulari biraz daha calismalisin...

---

Şimdi buldum, Vaktim olursa tekrar bakacağım o konulara Teşekkürler

---

Yorumlar ve yardımlarla çözüme ulaşılan soruların cevap kısmına soru sahibince çözümleri yazılsa sorular cevapsızlardan çıkacaktır. 

@Sercan hocam, bu hususta da titizlenmeliyiz diye düşünüyorum.