Question

$n \geq 5$ için $A_n$ basittir. Gösterin.

Comments

Bu cebir kitaplarının çoğunda ispatı olan bir sonuç. Buraya tüm ispatı yazmak ne kadar pratik olur bilemiyorum.

---

Altta göstermeye çalıştığım yol dışında birkaç farklı ispat için şu bağlantı incelenebilir: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/grouptheory/Ansimple.pdf

Answer 1

Diyelim ki $N$ grubu $A_n$ grubunun bir normal altgrubu olsun.

1) $n\geq 3$ için, $A_n$ grubu $3$-döngüler (cycle) tarafından üretilir.

2) Eğer $N$ herhangi bir $3$-döngü içerirse tüm $3$-döngüleri içerir, yani $N=A_n$ olur.

Şu andan itibaren $N$ grubu $A_n$ grubunun bir öz (proper) normal altgrubu ve $n\geq 5$ olsun.

3) $N$'de uzunluğu $4$ ya da daha fazla olan bir döngü içeren bir permutasyon yoktur.

4) $N$'de iki ayrık (disjoint) $3$-döngünün çarpımını içeren bir permutasyon yoktur.

1), 2) ve 3) ün ışığında diyebiliriz ki $N$'nin tüm elemanları çift sayıda ayrık makasların (transposition) çarpımlarıdır.

5) Problem 4)'te $N$'nin birimden farklı tüm elemanlarındaki makas sayısı en az $4$'tür.

Bu ifadeler bize bir çelişki vermeli. Demek ki $N$ grubu aşikarmış (trivial), yani $A_n$ basitmiş (simple).

Not: Bu ifadenin sonucu olarak $n\geq 5$ için $S_n$ çözülebilir (solvable) değildir.