Dehedral grubu $D_n (D_{2n})$ automorfizma sayısı $n\Phi(n)$ olduğunu gösterınız. Yani $|Aut(G)| = n\Phi(n)$ olduğunu gösterınız

Question

Tanım 1 : Dehedral grubu tanımı

Tanım 2 : $G$ bir grup olmak üzere ; $Aut(G) := \{f | f:G\to G \text{ bijectif ve homomorfizma }  \}$

Tanım 3 : $n\in \mathbb{N}$ olmak üzere ; $\Phi(n) := \text{#}\{m \in \mathbb{N} | m <  n ,obeb(m,n)=1\}$

Soru : $|Aut(D_n)| = n.\Phi(n)$ olduğunu gösterınız.

Yaptiği uğraşı :

Önerme 1: G herhangi bir grup, $g \in G$ olmak üzere " $x\in G$ için $T_g(x) = gxg^{-1}$ ile Tanımlanan $Tg : G \to G$, dönüşümü bir otomorfizma dir ve G'den G ye tüm bu tarz dönüşümleri oluşturduğu kumeye $G$ nin iç automorfizma denır ve $inn(G)$ şeklinde gösterılır. Ayrica $inn(G)$ $G$ nin normal alt gruptur.  $(Out(G) := Aut(G)/_{inn(G)} )$

Önerme 2 : $G$ bir grup olmak üzere $G/_{Z(G)}\equiv inn(G)$ olduğunu biliyoruz. burada $Z(G) := \{g\in G | (\forall x\in G , xg=gx \}$

aşağıdakı gelen ifadeler de doğru olduğunu hisettim

1.iddam : $n=p$ asal (tek?) ise $Z(G) = \{i_d\}  \Rightarrow inn(G) \equiv D_p$ olur ve $Out(D_p) \equiv \mathbb{Z_{\frac{\Phi(p)}{2}}} = \mathbb{Z}_ {\frac{p-1}{2}}$ ve dolasıyla $|Aut(D_{p})| = |inn(D_{p})| * | Out(D_{p}| = 2p *{\frac{\Phi(p)}{2}} =p\Phi(p)=p(p-1)$

2.iddam : $n$ çift ise $Z(G)=< r^{\frac{n}{2}}> \equiv \mathbb{Z}_2 \Rightarrow |inn(G) | = \frac{n}{2}$ çıkar...

bu bilgeleri kulanarak $2 < n \leq 7$ için $Aut(D_n)$ elemanları bulabildım elim ile..

$n$ çift yada asal olayan tek sayı ise $|Aut(D_n)| = n.\Phi(n)$ olduğunu nasil gösterebilirim.

Dihedral grubun merkezi .