Sonsuz bir serinin toplamını, terimlerin sırasından bağımsız olarak tanımlamak.

Question

$I$ (sayılabilir sonsuz) bir indeks kümesi ve $(a_i)_{i\in I}$ (gerçel  veya karmaşık) sayıların bir SIRASIZ dizisi olsun. $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i$ toplamını şöyle tanımlamayı düşünelim.

Bir $S\in \mathbb{R}$ (veya $\mathbb{C}$) sayısı 

$\forall \varepsilon>0$ için

Her   SONLU $B\supseteq A$ ($ B\subset I$) kümesi  için  $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S|<\varepsilon$ 

 koşulu sağlayan ( $\varepsilon$ a bağlı) SONLU bir $A$ kümesi bulunabiliyor ise

$\displaystyle\sum_{i\in I}a_i$ (sırasız sonsuz) toplamı yakınsaktır diyelim  ve $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S$ yazalım.

Soru:

Bu tanıma göre böyle bir $S$ sayısının (varsa) tek olduğunu gösterin.

(Sorular devam edecek)

Comments

Nereye dogru devam edecek hocam?

---

Standart tanım ile arasındaki ilişkiyi bulana kadar devam edecek 

(Sonunda "Maaselef yeni bir şey bulamamışız" diyebiliriz!)

---

Hocam soru ve cevap icin, $A$ ne ise yariyor tam olarak? Sanki bosta duruyor gibi.. 

---

Buradaki $A$ kümesi (sabit değil $\varepsilon$ a bağlı) "önemli terimlerin" indislerinin kümesi. yani indisi $A$ da olmayan terimler $\varepsilon$ kadar bile etmiyor. Sadece  indisi $A$ da olan terimleri toplasak, hatamız $\varepsilon$ dan az olur .

Serilerin yakınkalık tanımındaki "$\forall\ \varepsilon>0$ için ......olacak şekilde bir $N_\varepsilon\in\mathbb{N}$ vardır" daki $N_\varepsilon$ nin görevini yapıyor.

---

Bu yaptıklarımın (ve daha fazlasının) Ali Nesin in 

https://matematikkoyu.org/docs/analiz_1.pdf

de bulabileceğiniz ANALİZ I ders kitabında (bölüm 23) olduğunu yeni farkettim.

Answer 1

 $S_1,S_2\in \mathbb{R}$ (veya $\mathbb{C}$) sayıları için 

 $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S_1$ ve $\displaystyle\sum_{i\in I}a_i=S_2$ olsun. 

$\varepsilon>0$ verilsin.

Her   SONLU $B\supseteq A_1$ ($ B\subset I$) kümesi  için  $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_1|<\varepsilon$ o. ş. sonlu bir $A_1$ kümesi ve

Her   SONLU $B\supseteq A_2$ ($ B\subset I$) kümesi  için  $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_2|<\varepsilon$ o. ş. sonlu bir $A_2$ kümesi vardır.

$B=A_1\cup A_2$ olsun. $B$ sonludur ve $B\supseteq A_1$ ve $B\supseteq A_2$ olduğundan:

$|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_1|<\varepsilon$ ve $|\displaystyle\sum_{i\in B}a_i-S_2|<\varepsilon$ olur.

Buradan:

$\displaystyle|S_1-S_2|=\left|(\sum_{i\in B}a_i-S_2)-(\sum_{i\in B}a_i-S_1)\right|\leq\left|\sum_{i\in B}a_i-S_2\right|+\left|\sum_{i\in B}a_i-S_1\right|<2\varepsilon$ olur. Her $\varepsilon>0$ için doğru olduğundan $S_1=S_2$ olmak zorundadır.

Comments

Son kisim icin $|S_1-S_2|=\cdots$'a gecerken $B$'nin sonlu ve sonlu toplamda siralamanin onemi olmadigini kullandigimizi eklemek istiyorum. Okuyanlar bu kismi gecmesinler, lutfen.

Sonlu toplamda siralamanin degismedigini direk bu cisimlerin toplama uzeride abel oldugu ve $(a+b)+c=a+(b+c)$ oldugu ile gorebiliriz. Bunun icin bir cisim yapisina ya da Reel/Karmasik sayilarinin entresan ozelliklerine gerek yok.