Question

Bir grupta her $a,b,c\ne1$ elemanlari icin $abc=cba$ saglaniyorsa grup abel midir?

Peki her $a_1,\cdots,a_n \ne 1$ icin $a_1a_2\cdots a_n=a_n\cdots a_2a_1$ esitligi saglansa da bunu diyebilir miyiz?

Comments

ilk soru için şöyle düşündüm..

Bir grupta her $a,b,c \neq 1$ elemanları için $abc=cba$ sağlansın. O halde $bca=acb$ eşitliği de doğrudur.

$bca=acb \Rightarrow bc=acba^{-1}$ olur.

$abc=a(acba^{-1})=cba \Rightarrow a^2cb=cba^2=a^2bc \Rightarrow a^2cb=a^2bc \Rightarrow cb=bc$ elde edilir. Bu da grubun abel olduğunu söyler.

İkinci soru için de tümevarım yapalım..

$n=3$ için durum gösterildi. n=4 olsun. O halde $a_1a_2a_3a_4=a_4a_3a_2a_1$ sağlanır. Dolayısıyla $a_2a_3a_4a_1=a_1a_4a_3a_2$ de sağlanır. $a_2a_3a_4=a_1a_4a_3a_2a_{1}^{-1}$

$a_1a_2a_3a_4=a_1^2a_4a_3a_2a_{1}^{-1}=a_4a_3a_2a_1 \Rightarrow  a_1^2a_4a_3a_2=a_4a_3a_2a_1^2=a_1^2a_2a_3a_4 \Rightarrow a_4a_3a_2=a_2a_3a_4$

olur ki bu da ilk soruda kanıtlanan durumdur. Yani abel olur.

$n=m$ için grup abel olsun. olsun. $n=m+1$ için de abel olur mu?

$a_1a_2a_3...a_ma_{m+1}=a_{m+1}a_m...a_3a_2a_1$ olduğuna göre $a_2a_3...a_ma_{m+1}a_1=a_1a_{m+1}a_m...a_3a_2$ sağlanır. $a_2a_3...a_ma_{m+1}=a_1a_{m+1}a_m...a_3a_2a_1^{-1}$

$a_1a_2a_3...a_ma_{m+1}=a_1^2a_{m+1}a_m...a_3a_2a_1^{-1}=a_{m+1}a_m...a_3a_2a_1 \Rightarrow a_1^2a_{m+1}a_m...a_3a_2=a_{m+1}a_m...a_3a_2a_1^2=a_1^2a_2a_3...a_ma_{m+1}$

$\Rightarrow a_{m+1}a_m...a_3a_2=a_2a_3...a_ma_{m+1}$ olur. Bu da tümevarımın sonucu olarak grubun abel olduğunu söyler. (Düşünemeyip atladığım bir yer ya da hata yaptığım bir durum varsa lütfen uyarın beni..)

---

Yok gibi duruyor.

Answer 1

Ilk kismi Ece'nin yorumundan kopyalarsam:
Bir grupta her $a,b,c \neq 1$ elemanları için $abc=cba$ sağlansın. O halde $bca=acb$ eşitliği de doğrudur. $bca=acb \Rightarrow bc=acba^{-1}$ olur.

$abc=a(acba^{-1})=cba \Rightarrow a^2cb=cba^2=a^2bc \Rightarrow a^2cb=a^2bc \Rightarrow cb=bc$ elde edilir. Bu da grubun abel olduğunu söyler.

Ikinci kisim:
$n=2$ icin bu bariz dogru. $n>3$ ise $a_{n-1}a_n=1$ olacak sekilde sectigimizde durumu $n-2$ye dusururuz. Boyle boyle ya $2$ye ya $3$e variriz. Dolayisiyla tumevarimsal olarak abelligi elde ederiz.