Question

$G$ bir grup, $a,b\in G$ için $a^{2}=e$ ve $ab^{4}a=b^{7}$ ise $b^{33}$ ne olur?

Comments

6 aydır bakıyorum henüz bulamadım. Bir öneriniz varsa paylaşırsanız sevinirim. Bu arada $b^{33}=e$ olacakmış. Ama nasıl?

---

Cevapladim hocam.

Answer 1

Oncelikle $a^2 = e$ oldugu icin $a = a^{-1}$ (Bu ozelligi tekrar tekrar kullanacagiz). Boylece $ab^4a = b^7$'yi kullanarak $ab^{4}a^{-1} = b^7$ ve $ab^7a^{-1} = b^4$ elde edilir.

$ab^{28}a^{-1}$'i iki farkli sekilde hesaplayalim.

$ab^{28}a^{-1} = (ab^{4}a^{-1})^7 = (b^7)^7 = b^{49}$.

$ab^{28}a^{-1} = (ab^{7}a^{-1})^4 = (b^4)^4 = b^{16}$.

$b^{49} = b^{16}$'dan $b^{33} = e$ elde edilir.

Comments

Çok teşekkür ediyorum güzel çözümünüz için.

---

ilk kisim, yani sorunun asil sormak istedigi, dogru da, $b=e$ savini ispatlarken "$aba=b^{10}$ ise $ab^2a=b^{20}$" yerine $aba=b^{10}$ ise $ab^2a=b^{100}$" yazilmis.. yani ekstra bilgi alamiyoruz bundan dolayi. ya da ben bir seyi gozden kacirdim.

---

Genel olarak $aba^{-1} = b^{i}$ ise $a^nba^{-n} = ab^{i^n}a^{-1}$ olur. Tumevarimla ispatlayabilirsiniz.

---

$(a^b)^c=a^{bc}$

---

Haklisiniz cozumun geri kalan kismi yanlis oluyor. Yorumumu da duzelttim, cok tesekkurler.

---

$b$ icin daha fazlasini soylemenin mumkun olmadigini da fark ettim. Cunku verilen ozellikleri saglayan ve $b$'nin mertebesinin $33$ oldugu bir grup var. Bu grup ise direkt carpim olmayan bir $\mathbb{Z}/33 \rtimes \mathbb{Z}/2$ yari direkt carpimi olarak alinabilir.