Aralarında asal iki sayı arasındaki ilişki ve doğal sayılar

Question

Merhaba,

1)  Aşağıdaki önermeyi kanıtlamak için nasıl bir yol izleyebilirim? (Nasıl bir kanıt yapılabilir?)


Önerme:
$a, b, n \in\mathbb{N}$
$a \geq 0$, $b \geq 0$, $n \geq 7$

$n=1+3a+4b$

Her $n \geq 7$ için
$a$ ve $b$ sayıları vardır.


2) Ayrıca daha genel olarak da doğru olduğunu sezinliyorum.

$a, b, n, x, y \in\mathbb{N}$

$a \geq 0$,   $b \geq 0$
$x \neq 0$, $y \neq 0$

$\frac{x}{y} \in\mathbb{Q}$

$n=|x-y|+ax+by$

Her $?$ için $a$ ve $b$ sayıları vardır. (? işareti yerine bir ilişki bulabilirsem ilişki gelecek)

Şeklinde yazılabileceğini farkettim.

Sorumda, yardım istediğim noktada bir bulanıklık varsa lütfen uyarın.
Şimdiden çok teşekkür ediyorum.
İyi günler dilerim.

Not: Birinci önerme için bir programlama dili aracılığıyla hazırladığım belge elimde mevcuttur. 7-200 aralığındaki n değerleri için (her n için) a ve b sayıları var.

Comments

http://matkafasi.com/4630/kiloluk-agirlaklarla-%248%24den-buyuk-agirliklari-olcebiliriz

http://matkafasi.com/671/kisitli-oklit-algoritmasi-ile-ne-yapilabilir?show=671#q671

Bu linklere bakabilirsin. ilk sorun icin.. burda cevaplari yok ama sorularin cevabi mevcut.

ikincisi icin de: $n=|(n+1)-1|+0x+0y$ istedigini vermiyor mu?

---

Çok teşekkürler yanıtınız için, inceleyeceğim.

---

Bence kısıtlı öklit algoritması ile ilgili soruyu çözmeye çalış. Onu çözünce burada kafana takılan her şeyin yanıtını bulmuş olursun.

Answer 1

http://matkafasi.com/671/kisitli-oklit-algoritmasi-ile-ne-yapilabilir?show=671#q671

Answer 2

$a, b, c \in \mathbb{N}$ olsun.

$$\begin{equation}  c = 3\cdot a + 4 \cdot b \end{equation}$$

Olarak tanımlanan her $c \geq 6$ için $a$ ve $b$ sayıları vardır.

Teoremi bu hale getirelim.

~

Önkabüller: 

$0 \in \mathbb{N}$

Kanıt.
İlk iş olarak 3'ün katlarını inşa edelim.

$$\begin{equation}     3\mathbb{N} = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, \ldots \} \end{equation}$$

Başlangıç değerimize $n$ diyelim ve $n=6$ olsun.

$n \in 3\mathbb{N}$ olduğu açıktır.
$c=n$ için teoremimizi şöyle uygulayabiliriz.

$$\begin{equation}     n = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 0 \end{equation}$$

$n+1$ ve $n+2$ sayılarının var olduğunu göstermeyi başarırsak ($n+3 \in 3\mathbb{N}$) tüm $\geq 6$ doğal sayıları için teoremimiz kanıtlanmış olur.

$4-3=1$ ve $4 \cdot 2 - 3 \cdot 2 = 2$ olduğu açıktır. Uygulayalım.

$$\begin{equation}     n + 1 = 3 \cdot (2-1) + 4 \cdot (0+1) \end{equation}$$
$$\begin{equation}     n + 2 = 3\cdot(2-2) + 4\cdot (0+2) \end{equation}$$


Kanıtımız burada bitmiştir.
Özet olarak, $3\mathbb{N}$ inşa ederek başladık. $3\mathbb{N}$ kümesinin ardışık elemanlarının arasında kalan aralığı, teoremimiz ile "doldurabileceğimizi" gösterdik.

Sonuç olarak;
$$\begin{equation}     \{3\cdot a + 4 \cdot b : a, b \in \mathbb{N}\} = \mathbb{N}^{\geq 6} \end{equation}$$

Comments

http://matkafasi.com/5854/kareyi-karelere-parcalama?show=5854#q5854

Bu da okunabilir.