Processing math: 4%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi
x8 icin oyle a,bN bulabiliriz ki

3a+5b=x

olsun.
Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.5k kez görüntülendi
<p> ax+by \equiv c\ (\mod m)   denkliğinin çözümü olması için gerek ve yeter sart OBEB(a,b,m)| c  olması gerek öyle m sayıları bulsak obebi c yi bölse bu çözüme götürür mü 
</p>

Bu yorum mu, cevap mi? Emin degilim, ama yukaridaki a,b \in \mathbb{N}'ye dikkat etmek lazim.. Yani 1=3a+5b olacak sekilde a,b yok..

Sağlaya değerler olduğunu gösterir sanki ama geneli için bilmiorum 3a+5b=9 olacak şekilde a ve b doğal sayısı yok mesela ama söylediğim teoremde kullanılarak şartı sağlayan sayılar elde edilir 

Yavaş yavaş ilerliyorum :)

2 Cevaplar

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap
Bütün doğal sayıları üçe bölümünden kalan sayılara göre üç gruba ayıralım:

Birinci grup: 1, 4 , 7, 10, 13, .. \ldots
İkinci grup: 2, 5 , 8, 11, 14, .. \ldots
Üçüncü grup: 0, 3 , 6, 9, 12, .. \ldots

Üçüncü gruptaki her ağırlık ölçülebilir. Sadece 3 kiloluk ağırlıklar kullanılarak.

İkinci grupta 2 ölçülemez. Ama 5 ölçülebilir. Bu durumda 5'e üçün katlarını ekleye ekleye ikinci gruptaki diğer ağırlıklar da ölçülebilir. 8 = 3+5, 11 = 2.3 + 5 ve 14 = 3.3 + 5 gibi.

Birinci grupta 1, 4 ve 7 ölçülemez. Ama 10 = 5+5 ölçülebilir. Bu durumda birinci grupta 10'dan sonra gelen her sayı da ölçülebilir. 

Demek ki ölçemeyeceğimiz sayılar sadece 1, 2 , 4 ve 7. Yani sorudaki önerme doğru.

(2.5k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Birde bu soru ,N dogal sayılar kümesi olmak üzre 3N+5N=\{0,3,5,6,8,9,10,11,...............\}   gibi kümeler toplamına benziyor sanırım.

Evet. Aynen o.

5 de olculuyor bu arada.

Ah evet.

Ve yine şahane bir şey: Hep bir simetri var. Eğer iki sayının toplamı 7 ise, bu sayılardan bir tanesi ve sadece bir tanesi ölçülebiliyor. 0 ve 7, 1 ve 6, 2 ve 5, 3 ve 4 gibi. Yani 7/2'nin solunda kalan sayılar ile sağında kalan sayıların ölçülebilirliği 7/2'ye göre simetrik. Ve bu tesadüf değil.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Bu problemin özgün şekli şöyle ifade edilebilir. Sırasıyla, 3, 5 ve 8 litre süt ölçebilen üç kabımız var. Bu kaplar sırasıyla A, B ve C diyelim. 

Başlangıçta A ve B boş, C ise 8 litre süt ile doludur. Biri

gelip 1 ile 8 litre arasında süt isteseydi, sadece bu kapları

kullanarak, kapların birinden diğerine taşırmadan süt boşaltarak istenilen miktarı tartabilir miydik? Burada kapların birinden diğerine süt boşaltma işlemi istenildiği kadar yapılabilir. Ayrıca K_{1} kabından K_{2} 

kabına bir aktarma yapılıyorsa; eğer  alabiliryorsa K_{2}' ye K_{1}'in tamamını aksi

halde K_{1}'den K_{2}' ye K_{2}' nin tam dolu olarak alabileceği

kadar süt aktarılacaktır. Bunun yapılabileceğini görmek için sembolik bir yazım kullanalım. 

\left( K_{1},K_{2}\right) \left( r_{1},r_{2},r_{3}\right)

ile K_{1} kabından K_{2} kabına K_{2}'nin alabileceği kadar süt boşalttığımızı sembolik olarak gösterelim. Ayni

zamanda bu sembol bu işlem sonunda A da r_{1} litre, B de r_{2}

litre ve C de r_{3} litre süt oluşturduğumuz anlamına

gelsin. Başlangıçta sembol

\left( -,-\right) \left( 0,0,8\right)

dir. Bunu nedeni henüz kaplarla hiç işlem yapmadık , A boş, B boş ve C de 8 litre süt vardır. İşte başlıyoruz.


\left( -,-\right) \left( 0,0,8\right)  


\left( C,A\right) \left( 3,0,5\right)  


\left( A,B\right) \left( 0,3,5\right)


\left( C,A\right) \left( 3,3,2\right) ------------- O halde 2 ve 6 litreyi tartabiliriz.


\left( A.B\right) \left( 1,5,2\right) ------------- O halde 1 litreyi tartabiliriz.


\left( B,C\right) \left( 1,0,7\right) ------------- O halde 1 ve 7 litreyi tartabiliriz.


\left( A,B\right) \left( 0,1,7\right)


\left( C,A\right) \left( 3,1,4\right) ------------- O halde 4 itreyi tartabilirim.

Geriye bir şey kalmadı. Burada sihirli olan şey 3,5,8 değildir. a ve b herhangi pozitif tamsayılar ve a, b nin en büyük ortak böleni 1 olsun. Başlangıçta kaplar sırasıyla a,b ve a+b litre süt içeriyorsa 1 den a+b ye kadar her litreyi tartabiliriz. Neden? Bunu nedeni Bezout teoremidir.. a ve b herhangi pozitif tamsayılar  \left( a,b\right) =1 ise öyle pozitif x ve y tam sayıları vardır ki ax-by=1 dir. O halde x kere C den A ya, A doldukça A daki sütü B ye ve B doldukça B dekileri C ye aktarırsak sonunda A da 1 litre elde ederiz.




(541 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Hocam bu soruyu mu cevapladiniz?:

x \geq 8 icin oyle a,b \in \mathbb{N} bulabiliriz ki 

3a+5b=x

olsun.

Burda bosaltma yok da?

20,305 soru
21,856 cevap
73,576 yorum
2,804,838 kullanıcı