$3$ ve $5$ kiloluk agirlaklarla $8$'den buyuk tum agirliklari olcebiliriz

Question

$x \geq 8$ icin oyle $a,b \in \mathbb{N}$ bulabiliriz ki

$$3a+5b=x$$

olsun.

Comments

<p> $ax+by \equiv c\ (\mod m)$   denkliğinin çözümü olması için gerek ve yeter sart $OBEB(a,b,m)| c$ olması gerek öyle m sayıları bulsak obebi c yi bölse bu çözüme götürür mü 
</p>

---

Bu yorum mu, cevap mi? Emin degilim, ama yukaridaki $a,b \in \mathbb{N}$'ye dikkat etmek lazim.. Yani $1=3a+5b$ olacak sekilde $a,b$ yok..

---

Sağlaya değerler olduğunu gösterir sanki ama geneli için bilmiorum $3a+5b=9$ olacak şekilde $a ve b$ doğal sayısı yok mesela ama söylediğim teoremde kullanılarak şartı sağlayan sayılar elde edilir 

---

http://matkafasi.com/671/kisitli-oklit-algoritmasi-ile-ne-yapilabilir?show=671#q671

---

Yavaş yavaş ilerliyorum :)

Answer 1

Bütün doğal sayıları üçe bölümünden kalan sayılara göre üç gruba ayıralım:

Birinci grup: $1, 4 , 7, 10, 13, .. \ldots$

İkinci grup: $2, 5 , 8, 11, 14, .. \ldots$

Üçüncü grup: $0, 3 , 6, 9, 12, .. \ldots$

Üçüncü gruptaki her ağırlık ölçülebilir. Sadece $3$ kiloluk ağırlıklar kullanılarak.

İkinci grupta $2$ ölçülemez. Ama $5$ ölçülebilir. Bu durumda $5$'e üçün katlarını ekleye ekleye ikinci gruptaki diğer ağırlıklar da ölçülebilir. $8 = 3+5$, $11 = 2.3 + 5$ ve $14 = 3.3 + 5$ gibi.

Birinci grupta $1, 4$ ve $7$ ölçülemez. Ama $10 = 5+5$ ölçülebilir. Bu durumda birinci grupta $10$'dan sonra gelen her sayı da ölçülebilir. 

Demek ki ölçemeyeceğimiz sayılar sadece $1, 2 , 4$ ve $7$. Yani sorudaki önerme doğru.

Ek: http://matkafasi.com/100439/acik-problem-arsivi-olusturalim#a100531

Comments

Birde bu soru ,N dogal sayılar kümesi olmak üzre $3N+5N=\{0,3,5,6,8,9,10,11,...............\}$   gibi kümeler toplamına benziyor sanırım.

---

Evet. Aynen o.

---

$5$ de olculuyor bu arada.

---

Ah evet.

Ve yine şahane bir şey: Hep bir simetri var. Eğer iki sayının toplamı 7 ise, bu sayılardan bir tanesi ve sadece bir tanesi ölçülebiliyor. 0 ve 7, 1 ve 6, 2 ve 5, 3 ve 4 gibi. Yani 7/2'nin solunda kalan sayılar ile sağında kalan sayıların ölçülebilirliği 7/2'ye göre simetrik. Ve bu tesadüf değil.

Answer 2

Bu problemin özgün şekli şöyle ifade edilebilir. Sırasıyla, $3$, $5$ ve $8$ litre süt ölçebilen üç kabımız var. Bu kaplar sırasıyla $A$, $B$ ve $C$ diyelim. 

Başlangıçta $A$ ve $B$ boş, $C$ ise $8$ litre süt ile doludur. Biri

gelip $1$ ile $8$ litre arasında süt isteseydi, sadece bu kapları

kullanarak, kapların birinden diğerine taşırmadan süt boşaltarak istenilen miktarı tartabilir miydik? Burada kapların birinden diğerine süt boşaltma işlemi istenildiği kadar yapılabilir. Ayrıca $K_{1}$ kabından $K_{2}$ 

kabına bir aktarma yapılıyorsa; eğer  alabiliryorsa $K_{2}$' ye $K_{1}$'in tamamını aksi

halde $K_{1}$'den $K_{2}$' ye $K_{2}$' nin tam dolu olarak alabileceği

kadar süt aktarılacaktır. Bunun yapılabileceğini görmek için sembolik bir yazım kullanalım. 

$$\left( K_{1},K_{2}\right) \left( r_{1},r_{2},r_{3}\right)$$

ile $K_{1}$ kabından $K_{2}$ kabına $K_{2}$'nin alabileceği kadar süt boşalttığımızı sembolik olarak gösterelim. Ayni

zamanda bu sembol bu işlem sonunda $A$ da $r_{1}$ litre, $B$ de $r_{2}$

litre ve $C$ de $r_{3}$ litre süt oluşturduğumuz anlamına

gelsin. Başlangıçta sembol

$$\left( -,-\right) \left( 0,0,8\right)$$

dir. Bunu nedeni henüz kaplarla hiç işlem yapmadık , $A$ boş, $B$ boş ve $C$ de $8$ litre süt vardır. İşte başlıyoruz.

$\left( -,-\right) \left( 0,0,8\right)$ 

$\left( C,A\right)$ $\left( 3,0,5\right)$ 

$\left( A,B\right)$ $\left( 0,3,5\right)$

$\left( C,A\right)$ $\left( 3,3,2\right)$ ------------- O halde $2$ ve $6$ litreyi tartabiliriz.

$\left( A.B\right)$ $\left( 1,5,2\right)$ ------------- O halde $1$ litreyi tartabiliriz.

$\left( B,C\right)$ $\left( 1,0,7\right)$ ------------- O halde $1$ ve $7$ litreyi tartabiliriz.

$\left( A,B\right)$ $\left( 0,1,7\right)$

$\left( C,A\right)$ $\left( 3,1,4\right)$ ------------- O halde $4$ itreyi tartabilirim.

Geriye bir şey kalmadı. Burada sihirli olan şey $3$,$5$,$8$ değildir. $a$ ve $b$ herhangi pozitif tamsayılar ve $a$, $b$ nin en büyük ortak böleni $1$ olsun. Başlangıçta kaplar sırasıyla $a$,$b$ ve $a+b$ litre süt içeriyorsa $1$ den $a+b$ ye kadar her litreyi tartabiliriz. Neden? Bunu nedeni Bezout teoremidir.. $a$ ve $b$ herhangi pozitif tamsayılar  $\left( a,b\right) =1$ ise öyle pozitif $x$ ve $y$ tam sayıları vardır ki $ax-by=1$ dir. O halde $x$ kere $C$ den $A$ ya, $A$ doldukça $A$ daki sütü $B$ ye ve $B$ doldukça $B$ dekileri $C$ ye aktarırsak sonunda $A$ da $1$ litre elde ederiz.

Comments

Hocam bu soruyu mu cevapladiniz?:

$x \geq 8$ icin oyle $a,b \in \mathbb{N}$ bulabiliriz ki 

$$3a+5b=x$$

olsun.

Burda bosaltma yok da?