Bu problemin özgün şekli şöyle ifade edilebilir. Sırasıyla, 3, 5 ve 8 litre süt ölçebilen üç kabımız var. Bu kaplar sırasıyla A, B ve C diyelim.
Başlangıçta A ve B boş, C ise 8 litre süt ile doludur. Biri
gelip 1 ile 8 litre arasında süt isteseydi, sadece bu kapları
kullanarak, kapların birinden diğerine taşırmadan süt boşaltarak istenilen miktarı tartabilir miydik? Burada kapların birinden diğerine süt boşaltma işlemi istenildiği kadar yapılabilir. Ayrıca K1 kabından K2
kabına bir aktarma yapılıyorsa; eğer alabiliryorsa K2' ye K1'in tamamını aksi
halde K1'den K2' ye K2' nin tam dolu olarak alabileceği
kadar süt aktarılacaktır. Bunun yapılabileceğini görmek için sembolik bir yazım kullanalım.
(K1,K2)(r1,r2,r3)
ile K1 kabından K2 kabına K2'nin alabileceği kadar süt boşalttığımızı sembolik olarak gösterelim. Ayni
zamanda bu sembol bu işlem sonunda A da r1 litre, B de r2
litre ve C de r3 litre süt oluşturduğumuz anlamına
gelsin. Başlangıçta sembol
(−,−)(0,0,8)
dir. Bunu nedeni henüz kaplarla hiç işlem yapmadık , A boş, B boş ve C de 8 litre süt vardır. İşte başlıyoruz.
(−,−)(0,0,8)
(C,A) (3,0,5)
(A,B) (0,3,5)
(C,A) (3,3,2) ------------- O halde 2 ve 6 litreyi tartabiliriz.
(A.B) (1,5,2) ------------- O halde 1 litreyi tartabiliriz.
(B,C) (1,0,7) ------------- O halde 1 ve 7 litreyi tartabiliriz.
(A,B) (0,1,7)
(C,A) (3,1,4) ------------- O halde 4 itreyi tartabilirim.
Geriye bir şey kalmadı. Burada sihirli olan şey 3,5,8 değildir. a ve b herhangi pozitif tamsayılar ve a, b nin en büyük ortak böleni 1 olsun. Başlangıçta kaplar sırasıyla a,b ve a+b litre süt içeriyorsa 1 den a+b ye kadar her litreyi tartabiliriz. Neden? Bunu nedeni Bezout teoremidir.. a ve b herhangi pozitif tamsayılar (a,b)=1 ise öyle pozitif x ve y tam sayıları vardır ki ax−by=1 dir. O halde x kere C den A ya, A doldukça A daki sütü B ye ve B doldukça B dekileri C ye aktarırsak sonunda A da 1 litre elde ederiz.