Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
1.4k kez görüntülendi
Diyelim ki n ve m birbiriyle asal iki sayı olsun. Bezout eşitliği sayesinde

 

an+bm=1

 

eşitliğini saplayacak a,b tamsayıları bulunabilir. Bu demek oluyor ki, denklemin her iki tarafını A ile çarparak her tamsayıyı n ile m sayılarının Z kombinasyonu biçimde yazabiliriz. Peki n ve m sayılarının N kombinasyonlarını düşünürsek hangi sayıları yazabiliriz?
Serbest kategorisinde (3.7k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 1.4k kez görüntülendi

Bu soru merak uzerine mi, yoksa gercekten guzel bir sonucu var mi?

3 tane tamsayi icin acik bile olabilir tam animsamiyorum. Bu durumda "basit" bir yaniti var. Lise ogrencileri icin guzel bir oyun olur.

Sanirim 3 tam sayi icin acik.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

m ve n aralarında asal olsun.

Bu durumda ˉnZ/mZ elemanı bütün Z/mZ grubunu gerer. 

Bu ne demek? 

Bütün doğal sayıları m'e bölününce verdikleri kalana göre gruplara ayıralım.

Birinci grup: 1,m+1,2m+1,...

İkinci grup: 2,m+2,2m+2,...

Üçüncü grup: 3,......

...

minci grup: 0,m,2m,...

En yukarıda söylediğimiz şey, bu grupların her birinde n'nin bir katı olan bir eleman bulabileceğimizi söylüyor. Diyelim ki jinci gruptaki bu eleman ajn. Bu elemanı bulduktan sonra, o grupta bu elemandan gelen her sayıyı ajn+bm şeklinde yazabileceğimizi görmek kolay.

Demek ki her grupta, bir noktadan sonra her elemanı an+bm şeklinde yazabiliyoruz. Bir başka deyişle her grupta bu şekilde yazamayacağımız sonlu sayıda doğal sayı var. O halde, toplamda bu şekilde yazamayacağımız sonlu sayıda doğal sayı var. 

Yani bir noktadan sonra bütün doğal sayıları bu şekilde yazabiliriz.

Not: Eğer m ve n'yi aralarında asal seçmeseydik yine aynı mantıkla şunu gösterebilirdik: bir noktadan sonra EBOB(m,n)'nin katı olan bütün sayıları bu şekilde yazabiliriz.

Not2: İkinci notu kullanarak bu soruyu genelleştirmek zor değil. Eğer EBOB(m1,,mn)=1 ise bir noktadan sonra her sayıyı x1,,xnN olmak üzere x1m1++xnmn şeklinde yazabiliriz.

Not3: Örnek için bakınız: http://matkafasi.com/4630/kiloluk-agirlaklarla-%248%24den-buyuk-agirliklari-olcebiliriz

Not4: İlgili bir açık soru için bakınız: http://matkafasi.com/100439/acik-problem-arsivi-olusturalim

Not5: Bu problemi Zn içindeki kafeslere de genelleştirmek mümkün (bazı şartlar altında). Bunu yapan konveks cebirsel geometriciler var. Güzel örneklerden bir tanesi için bakınız: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bernstein–Kushnirenko_theore

Not7.

(2.5k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Nerden sonra? Bir altsınır olsa gerek, mesela nmnm'den sonrası olabilir mi?

Aynen. Üstüste üç cevap yazınca nereye ne yazdığımı unuttum. Not4'teki linkte söylemiştim.

samsungdan reklam mi aldiniz hocam 7. editte ?
O zaman Note7 yeni çıkmıştı, onun sayfasına gidiyordu :/
20,296 soru
21,840 cevap
73,541 yorum
2,723,815 kullanıcı