m ve n aralarında asal olsun.
Bu durumda ˉn∈Z/mZ elemanı bütün Z/mZ grubunu gerer.
Bu ne demek?
Bütün doğal sayıları m'e bölününce verdikleri kalana göre gruplara ayıralım.
Birinci grup: 1,m+1,2m+1,...
İkinci grup: 2,m+2,2m+2,...
Üçüncü grup: 3,......
...
minci grup: 0,m,2m,...
En yukarıda söylediğimiz şey, bu grupların her birinde n'nin bir katı olan bir eleman bulabileceğimizi söylüyor. Diyelim ki jinci gruptaki bu eleman ajn. Bu elemanı bulduktan sonra, o grupta bu elemandan gelen her sayıyı ajn+bm şeklinde yazabileceğimizi görmek kolay.
Demek ki her grupta, bir noktadan sonra her elemanı an+bm şeklinde yazabiliyoruz. Bir başka deyişle her grupta bu şekilde yazamayacağımız sonlu sayıda doğal sayı var. O halde, toplamda bu şekilde yazamayacağımız sonlu sayıda doğal sayı var.
Yani bir noktadan sonra bütün doğal sayıları bu şekilde yazabiliriz.
Not: Eğer m ve n'yi aralarında asal seçmeseydik yine aynı mantıkla şunu gösterebilirdik: bir noktadan sonra EBOB(m,n)'nin katı olan bütün sayıları bu şekilde yazabiliriz.
Not2: İkinci notu kullanarak bu soruyu genelleştirmek zor değil. Eğer EBOB(m1,…,mn)=1 ise bir noktadan sonra her sayıyı x1,…,xn∈N olmak üzere x1m1+…+xnmn şeklinde yazabiliriz.
Not3: Örnek için bakınız: http://matkafasi.com/4630/kiloluk-agirlaklarla-%248%24den-buyuk-agirliklari-olcebiliriz
Not4: İlgili bir açık soru için bakınız: http://matkafasi.com/100439/acik-problem-arsivi-olusturalim
Not5: Bu problemi Zn içindeki kafeslere de genelleştirmek mümkün (bazı şartlar altında). Bunu yapan konveks cebirsel geometriciler var. Güzel örneklerden bir tanesi için bakınız: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bernstein–Kushnirenko_theore
Not7.