Açık Problem arşivi oluşturalım

1 beğenilme 0 beğenilmeme
98 kez görüntülendi

Bir Arşiv oluşturalım böylelikle üzerinde konuşacağımız sorularımız olur.

1.Paul Erdös - Ernst Straus varsayımı

Her pozitif $n \geq 2 $ tamsayısı için $x, y , z$ pozitif tamsayıları varmıdır ki ;

$\frac{4}{n}=\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ eşitliği sağlansın ?

2.

$\gamma , \pi - e , \pi + e , \pi e , \pi ^e , \pi^{\sqrt2} , \pi^{\pi} , 2^e  ,e^e, \zeta(3)$ cebirsel mi transandart mı ?

3.

   Eğer $2^x$  ve  $3^x$ tamsayı ise $x$ tamsayı olmak zorunda mı ? 



Şimdilik bu kadar çevirdiklerimi ve bildikleri yazacağım sizden de bekliyorum ,


3, Aralık, 2016 Serbest kategorisinde ra (50 puan) tarafından  soruldu
5, Aralık, 2016 ra tarafından düzenlendi
3. soruyu anlamadim.

$x=\log_23\notin \mathbb{Z}$ alalim. O zaman $2^{\log_23}=3 \in \mathbb{Z}$ olur..

Buarada 2. soruya $\zeta(3)$ de eklenebilir..

1 cevap

2 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

Sitede yer alan şu sorulara bakalım:


Şafak Özden'in sorduğu bu sorunun cevabı şu: Eğer $m$ ve $n$ sayıları aralarında asal ise, öyle bir $F$ sayısı vardır ki her $k > F $ için $mx + ny = k$ olacak şekilde $x, y$ doğal sayıları bulunabilir. Yani "bir noktadan sonra" her doğal sayıyı $mx + ny$ şeklinde yazabiliriz ($x$ ve $y$ doğal sayı olmak üzere). Eğer $m$ ve $n$ aralarında asal değilse bunun olmayacağı bariz. Çünkü yazabileceğimiz her sayının $EBOB(m, n)$ ile bölünmesi lazım. Ama şunu söyleyebiliriz: yine öyle bir $F$ sayısı vardır ki, $F$'den sonra gelen $EBOB(m,n)$'nin her katını $mx + ny$ şeklinde yazabiliriz.

Sercan bu soruyu üç ve beş için sormuş. Yusuf Ünlü de böyle cevaplamış ama dikkat edecek olursak Yusuf Hoca soruyu biraz değiştirmiş ve $x$ ve $y$'yi tam sayı almış. Bizim istediğimiz doğal sayılar.

Sercan'ın sorusunda ağırlıklar kullanılmış. Problemin diğer versiyonlarında Chicken McNugget kullanılıyor. Ben para kullanmak istiyorum. Elinizde 3 liralık ve 5 liralık banknotlar var. Hangi ücretleri para üstü almadan ödeyebilirsiniz. $1, 2, 4, 6, 7$ ödenemez. Ama $7$'den sonra gelen her ücreti gönül rahatlığıyla para üstüne gerek kalmadan ödeyebilirsiniz. Bunun nedenini Sercan'ın sorusunun altına yazacağım.

Şafak Özden'in sorusunda $m$ ve $n$'yi aralarında asal seçersek bir noktadan sonra her ücreti para üstü almadan ödeyebileceğimizi söylemiştik. Bunu daha da genelleştirmek mümkün. Eğer $ekok(m_1, \ldots, m_j) = 1$ ise, bir noktadan sonra her ücreti para üstü almadan ödeyebileceğimizi göstermek zor değil. Zor değil ama ben o sorunun altına yorum olarak "sanırım açık bir soru" yazmışım. Kastettiğim bu değildi. Açık olan soruyu açıklayayım:

"Bir noktadan sonra" söz öbeğindeki "nokta" nedir? 

Bundan sonra hep aralarında asallık koşulunu kabul edeceğiz.

Şunu biliyoruz: Öyle bir $F$ sayısı vardır ki bu $F$ sayısını $mx + ny$ şeklinde yazamayız ama $F$'den sonra gelen her sayıyı böyle yazabiliriz. Bu $F$ nedir? $m$ ve $n$ cinsinden değerini bulabilir miyiz? Cevap veriyorum: Evet. $F = mn - (m+n)$'dir. Yani Sercan'ın sorusu için $F = 15-8 = 7$'dir. 

Durum iki sayı için böyle. Peki üç sayı için? Yine biliyoruz ki öyle bir $F$ sayısı vardır ki bu $F$ sayısını $m_1x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3$ şeklinde yazamayız ama $F$'den sonra gelen her sayıyı böyle yazabiliriz. Peki bu $F$ için bir formül var mı? Şu an bilmiyoruz. Bu soru açık.

Not: $F$, Frobenius'un $F$'si. Frobenius sayısı diye geçiyor bazı kaynaklarda. Şafak Özden'in sorusu en azından 19. yüzyıldan beri bilinen bir soru ve Frobenius da iki sayı için bu formülü bulup genelleştirememiş. O zamandan beri birçok kişi üç sayı ile üretilen nümerik yarıgrupların Frobenius sayısını bulmakla uğraşmış. Ama henüz bir formül yok.

Not2: Bu problemin birçok kişiyi çekmesinin sebeplerinden biri bir gıcır (smooth) karmaşık (kompleks) cebirsel eğrinin üzerinde yer alan "Weierstrass noktaları"nı anlamak.
4, Aralık, 2016 Ozgur (2,038 puan) tarafından  cevaplandı
4, Aralık, 2016 ra tarafından seçilmiş
...