Kısıtlı Öklit algoritması ile ne yapılabilir

4 beğenilme 0 beğenilmeme
307 kez görüntülendi

Diyelim ki $n$ ve $m$ birbiriyle asal iki sayı olsun. Bezout eşitliği sayesinde


$$an+bm=1$$


eşitliğini saplayacak $a,b$ tamsayıları bulunabilir. Bu demek oluyor ki, denklemin her iki tarafını $A$ ile çarparak her tamsayıyı $n$ ile $m$ sayılarının $\mathbb{Z}$ kombinasyonu biçimde yazabiliriz. Peki $n$ ve $m$ sayılarının $\mathbb{N}$ kombinasyonlarını düşünürsek hangi sayıları yazabiliriz?

9, Şubat, 2015 Serbest kategorisinde Safak Ozden (3,249 puan) tarafından  soruldu

Bu soru merak uzerine mi, yoksa gercekten guzel bir sonucu var mi?

$3$ tane tamsayi icin acik bile olabilir tam animsamiyorum. Bu durumda "basit" bir yaniti var. Lise ogrencileri icin guzel bir oyun olur.

Sanirim 3 tam sayi icin acik.

1 cevap

3 beğenilme 0 beğenilmeme
 
En İyi Cevap

$m$ ve $n$ aralarında asal olsun.

Bu durumda $\bar n \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ elemanı bütün $ \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ grubunu gerer. 

Bu ne demek? 

Bütün doğal sayıları $m$'e bölününce verdikleri kalana göre gruplara ayıralım.

Birinci grup: $1, m+1, 2m + 1,.. .$

İkinci grup: $2, m+2, 2m+2, ...$

Üçüncü grup: $3, ......$

...

$m$inci grup: $0, m, 2m,... $

En yukarıda söylediğimiz şey, bu grupların her birinde $n$'nin bir katı olan bir eleman bulabileceğimizi söylüyor. Diyelim ki $j$inci gruptaki bu eleman $a_j n$. Bu elemanı bulduktan sonra, o grupta bu elemandan gelen her sayıyı $a_j n + bm$ şeklinde yazabileceğimizi görmek kolay.

Demek ki her grupta, bir noktadan sonra her elemanı $an +bm$ şeklinde yazabiliyoruz. Bir başka deyişle her grupta bu şekilde yazamayacağımız sonlu sayıda doğal sayı var. O halde, toplamda bu şekilde yazamayacağımız sonlu sayıda doğal sayı var. 

Yani bir noktadan sonra bütün doğal sayıları bu şekilde yazabiliriz.

Not: Eğer $m$ ve $n$'yi aralarında asal seçmeseydik yine aynı mantıkla şunu gösterebilirdik: bir noktadan sonra $EBOB(m,n)$'nin katı olan bütün sayıları bu şekilde yazabiliriz.

Not2: İkinci notu kullanarak bu soruyu genelleştirmek zor değil. Eğer $EBOB(m_1, \ldots, m_n) = 1$ ise bir noktadan sonra her sayıyı $x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{N}$ olmak üzere $x_1m_1 + \ldots + x_nm_n$ şeklinde yazabiliriz.

Not3: Örnek için bakınız: http://matkafasi.com/4630/kiloluk-agirlaklarla-%248%24den-buyuk-agirliklari-olcebiliriz

Not4: İlgili bir açık soru için bakınız: http://matkafasi.com/100439/acik-problem-arsivi-olusturalim

Not5: Bu problemi $\mathbb{Z}^n$ içindeki kafeslere de genelleştirmek mümkün (bazı şartlar altında). Bunu yapan konveks cebirsel geometriciler var. Güzel örneklerden bir tanesi için bakınız: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Bernstein–Kushnirenko_theore

Not7.

4, Aralık, 2016 Ozgur (1,973 puan) tarafından  cevaplandı
4, Aralık, 2016 Safak Ozden tarafından seçilmiş

Nerden sonra? Bir altsınır olsa gerek, mesela $nm-n-m$'den sonrası olabilir mi?

Aynen. Üstüste üç cevap yazınca nereye ne yazdığımı unuttum. Not4'teki linkte söylemiştim.

...