degersiz fonksiyonlar (her $t>0$ icin$\int_0^t\mathcal N(u)du=0$)

Question

Soyle bir tanim var: Eger her $t>0$ icin$\int_0^t\mathcal N(u)du=0$ ise bu $\mathcal N$ fonksiyonuna degersiz "null" fonksiyon deriz.

Tanimdan anlasilan sifir disinda da bir degersiz fonksiyon olmali, tabi olmayabilir de. Degersiz bir fonksiyon ornegi olarak delta fonksiyonunu alabiliriz, tek bir degerde  $1$ diger yerlerde sifir olan fonksiyon. Daha genel olarak sadece sayilabilir tane sifir harici deger olan fonksiyonlari alabiliriz.

Tum  degersiz fonksiyonlarin kumesi bu sekilde midir, bunlarin haricinde degersiz bir fonksiyon var midir? Eger varsa, hepsini bulabilir miyiz?

Comments

1. null = degersiz cevirisini sevdim.

2. Cantor kumesinin karakteristik fonksiyonuna bak. Sayilamaz noktada sifirdan farkli deger aliyor.

3. Sifirdan farkli bir surekli fonksiyon degersiz olamaz, dimi?

---

1 icin tesekkur ederim. 2.deki ornek sagliyor. 3. de bittabi dogru. Bir kisim icin goruntusu sifir olmayan bir noktada surekli olsa bile elenir. 

Peki genel olarak su tarz fonksiyonlar olmali, diyebilecegimiz bir fonksiyon ailesi var mi (hepsini iceren)?  

---

Ben bilmiyorum (Lebesgue olcusunden bahsediyoruz, degil mi? Olcuyu degistirdigimizde, bu aile de degisecek cunku.)

---

Ben Riemann integrali olarak sordum. Yani Lebesgue icin de boyle bir tanimin yapilmasi dogaldir.

---

Cantor kumesinin karakteristik fonksiyonu Riemann integrallenebilir degil ama, yanlis hatirlamiyorsam.

---

Stackexchange'de bu soru var: link.

---

Pff tabii ki yanlis hatirliyormusum.. Sagol!