Asal sayi mi? $9999999999999999999999\cdots$

Question

Soru asagidaki farkli sayiyi bulmamiz olsa cok kolay olurdu. Fakat soru bu sayinin asalligi ile ilgili. Asagidaki $506$ basamakli sayinin asal oldugunu nasil gosterebiliriz?

Yaklasim: Sayiyi $10^{506}-10^{253}-1$ olarak yazabiliriz. Eger $x=10^{253}$ dersek $x^2-x-1$ carpanlarina ayrilmiyor, bu guzel ama bana asalligi hakkinda bir bilgi vermiyor. Bu sayinin asal olup olmadigini nasil gosterebiliriz?

  $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999899999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$ $$9999999999999999999999999999999999999999999999$$
 
Duzenleme: Bu sayinin akademik olarak (/yontemlerle) nasil asal diyebilecegimizi merak ettim. "Hangi $m>0$ tam sayilari icin $10^{2m}-10^{m}-1$ sayisi asal olur?" sorusunun cevaplarini nasil bulabiliriz?

Bu nedenle kategoriyi akademik'e ceviriyorum.

Comments

Dikkat!  Verilen sayı içinde 8 rakamı da var.

---

Ilk cumlede bunu belirtmek istedim: "Soru asagidaki farkli sayiyi bulmamiz olsa cok kolay olurdu." Zaten verilen sayi degeri de hangisinin $8$ oldugunu veriyor.

---

Hocam bu 506 rakamı cidden teker teker yazdınız mı? :)

---

Yaklaşımda  -1 yerine +1 mi olacaktı?

---

Once $5$ tane yazdim, sonra kopyala-yapistir ile $23$ tane, sonra $46$ tane yaptim, sonra yine kopyala-yapistir.

$506$ basamakli $9$ icin $10^{506}-1$ ve bir adet $9$'u $8$ yapmak icin $-10^{253}$.

---

Bir tane olan $8$'i keşke renkli yazsaydınız. Dikkati çekerdi.

---

Renkli yainca LaTex kobu bozuluyor, denedim. Kutu icinde yazdim, o zaman da sayinin gorselligi bozuluyor.

---

Bu vereceğim linkteki Palinromic Wing Primes kısmına benzer bir denklem, ama arada bir fark var. Bu sayfayı incelerseniz cevabı alacağınızı umut ediyorum.

https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_prime_numbers

---

Bu sadece liste, soru asallığının ispatı hakkında.

---

Palinromic Wing Primes diye bir yer var bu denkleme benzer o gözüme ilişti de o yüzden paylaştım.

---

Primes of the form  with .^[14] This means all digits except the middle digit are equal.

---

Evet, o sınıfa dahil(miş). Teşekkürler ilgilendiğin için. Böyle bir sınıf adı olduğunu bilmiyordum.

---

Bu cevap degil yaliniz. Site dili de Turkce.

Answer 1

Tam bir cevap olmayacak ama. Sayi $2^{253}(50^{253}-5^{253})-1$ seklinde yazilabilir. $N = k*2^n - 1$ seklinde yazilabilen butun sayilarin asalligina Lucas-Lehmar-Riesel testi ile karar verilir. bu durumda $k = 0 (mod 3)$ oldugundan LL testinin baslangic ($u_0$) degerine karar vermek kolay degil. Bu sayi ile ilgili aklima gelen tek test bu. Asallarin dagilimi ile ilgili birsey bilmedigimizden m sayilarini hesaplaminin tek yolu LLR testi ile deneyerek bulmak.

Comments

Dediginiz gibi $k2^n-1$ formunda olmasi gerekir sayilarin ve burada $2^{253}>(50^{253}-5^{253})$ olmasi gerekir, ki degil. Lucas asallik testi daha uygun dusebilir bu soru icin hatta. Fakat ben cok etkili "efficient" goremedim. Cunku $q-1$'in tum asal carpanlarini iceren islemler yapmak gerekecek. Aslinda asal pek buyuk degil, $q-1$ carpanlari ise

$\{\{2, 1\}, \{11, 2\}, \{23, 2\}, \{47, 1\}, \{139, 1\},\{2531, 1\}, \{4093, 1\}, \{8779, 1\}, \{6866927, 1\}, \{549797184491917, 1\}$ , 

$\{34823500348877655362343206477378708307857041186406012214\cdots, 1\}\}$

Yeterince fazla. Fakat en etkilisi ya da cok hizli bulabilecek bir algoritma var mi? $m$ arttikca...