Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
1.7k kez görüntülendi

$f(x)=\sqrt[3]{x}+2x+1$ fonksiyonunun sadece tek bir reel kökü olduğunu gösteriniz.

Lisans Matematik kategorisinde (67 puan) tarafından 
tarafından yeniden etikenlendirildi | 1.7k kez görüntülendi

En basit yol $y=\sqrt[3]{x}$ eğrisiyle $y=-2x-1$ doğrusunun kaç noktada kesiştiğini bulmak.Bu egrileri çizerseniz tek bir noktada kesiştiklerini görürsünüz.

Teşekkürler. Peki başka türlü gösterebilir miyim? Mesela Rolle teoremi kullanılan bazı kaynaklar gördüm ama verilen örnekler genellikle polinom şeklindeydi. Veya bu fonksiyonda değişken değiştirebilir miyim? Mesela $f(a^3)=a + 2a^3 + 1$ gibi.

Ya da ortalama değer teoremini kullanayım desem [a, b] kapalı aralığında fonksiyon sürekli ama (a, b) açık aralığında eğer 0 varsa, türevi $f'(x)=\dfrac{1}{ \sqrt[3]{x^2} }+2$  geliyor ve x = 0 için türevlenemiyor. Bu da kafamı karıştırdı.

Öncelikle f fonksiyonunuzun +- sonsuz için limitine bakarsanız f nin - sonsuzdan  + sonsuza giden (3.bölgeden 1.bölgeye)  bir fonksiyon olduğunu görürsünüz. f(-1) < 0   ve  f(0) > 0 olduğundan f nin [-1,0] aralığında  bir kökü olduğunu gözlemlemek kolaydır. Nerdeyse her x için f '(x) > 0 olması, yani artanlık f nin bu aralıktakinden başka kökü olmadığını garantiler. f nin 0 civarındaki davranışı  "cusp" noktalarını çağrıştırıyor. Bu konuda bilgili hocalarımız bizi aydınlatabilirler.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

Turevi sunu soyluyor. $(-\infty,0)$ ve $(0,\infty)$ araliklarinda bu fonksiyon artan. Ikinci aralikta koku olamaz ve birinci aralikta bir adet koku var, o da orta deger teoremi ile gosterilebilir.

$f(x)=x^3$ reel sayilar uzerinde birebir bi degisken degistirme, turev ile ya da dogrudan gosterilebilir. Bu nedenle $f(a)=2a^3+a+1$ incelenebilir. Fakat bu tarz degisimlerde dikkatli olmak gerekir.

Alper'in yorumundan sifir civari icin sunu soyleyebiliriz: Aslinda turevin bir tek o noktada olmamasi pek sikinti degil, artanligi bozmuyor, cunku sureklilik var. Aslinda fonksiyon artan bir fonksiyon. Bu nedenle ikiye ayirmaya bile gerek yok, ilk cevaptaki gibi.

Dexor'un yorumunda egri kesisimlerinden soz ediliyor. Ben bu cozumu pek tasvip etmiyorum. Sebebi bir egriyi cizmek icin eksenleri kestigi nokta, birinci-ikinci turev, asimptotlar vs incelenmeli. Eger bu sekilde bir egri kesisimlerinden soz ediliyorsa is daha da uzatilmis olur. Bir tarafta sadece birinci turev incelemesi, diger tarafta iki adet egri cizimi.

(25.4k puan) tarafından 
20,248 soru
21,774 cevap
73,416 yorum
2,145,578 kullanıcı