Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
511 kez görüntülendi

Asagidaki $n \times n$ matrisin determinanti kactir: $$\begin{pmatrix}a & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\1 & a & \ddots &  & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots &  & \ddots & a & 1 \\1 & \cdots & \cdots & 1 & a \\ \end{pmatrix} .$$

Dongusel matris ile soyle bir cozumu var: Soyle $f(x)=a+x+x^2+\cdots+x^{n-1}$ olarak tanimlayalim ve $w$ da birin $n$. dereceden bir ilkel koku olsun. Bu durumda determinant $\prod\limits_{i=0}^{n-1}f(w^i)=f(1)(a-1)^{n-1}=(a-1)^{n-1}(a+n-1)$ olur.

Baska cozum yontemi bulabilir misiniz?

Lisans Matematik kategorisinde (25.3k puan) tarafından  | 511 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Elementer işlemlerlede yapılabilir.

$ n. $  satırın $-1$ katını diğer satirlara eklersek det değişmez. Daha sonra ilk $ n-1  $ satirdan $  a-1 $ ortak çarpani dişarı alalim. $( a-1 )^  {n-1}$ çarpani gelir.

Sirasiyla 1., 2.,   ..., n-1 sütunlari n. Sütuna ekleyelim ve son sütuna gore kofaktör açilimindan ayni sonuç çikiyor.

(648 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Aslinda sormak istedigim, daha (trick) kurnaz yontemlerle matrisin ozelligni kullanarak nasil bulabilecegimizdi. Fakat soruda bunu belirtememisim.

20,208 soru
21,732 cevap
73,299 yorum
1,900,544 kullanıcı