Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
514 kez görüntülendi

Asagidaki $n \times n$ matrisin determinanti kactir: $$\begin{pmatrix}a & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\1 & a & \ddots &  & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots &  & \ddots & a & 1 \\1 & \cdots & \cdots & 1 & a \\ \end{pmatrix} .$$

Dongusel matris ile soyle bir cozumu var: Soyle $f(x)=a+x+x^2+\cdots+x^{n-1}$ olarak tanimlayalim ve $w$ da birin $n$. dereceden bir ilkel koku olsun. Bu durumda determinant $\prod\limits_{i=0}^{n-1}f(w^i)=f(1)(a-1)^{n-1}=(a-1)^{n-1}(a+n-1)$ olur.

Baska cozum yontemi bulabilir misiniz?

Lisans Matematik kategorisinde (25.3k puan) tarafından  | 514 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Elementer işlemlerlede yapılabilir.

$ n. $  satırın $-1$ katını diğer satirlara eklersek det değişmez. Daha sonra ilk $ n-1  $ satirdan $  a-1 $ ortak çarpani dişarı alalim. $( a-1 )^  {n-1}$ çarpani gelir.

Sirasiyla 1., 2.,   ..., n-1 sütunlari n. Sütuna ekleyelim ve son sütuna gore kofaktör açilimindan ayni sonuç çikiyor.

(648 puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Aslinda sormak istedigim, daha (trick) kurnaz yontemlerle matrisin ozelligni kullanarak nasil bulabilecegimizdi. Fakat soruda bunu belirtememisim.

20,210 soru
21,736 cevap
73,302 yorum
1,909,600 kullanıcı