Ben Coxeter gruplarini cok bilmiyorum. O yuzden istenilen cevabi veremeyecegim sanirim. Ama en azindan ilk soruya cevap vereyim.
Genel olarak elimizde $\mathbb{N}$-dereceli bir vektor uzayi varsa (yani eger vektor uzayimizi $V = \oplus_{i =0}^{\infty}V_i$ seklinde ayristirabiliyorsak ve morfizmalarimizi
suradaki gibi goruyorsak) o zaman $$f_V(x) = \sum_{i = 0}^{\infty} \dim V_i \; x^i$$ seklinde tanimlanan seriye $V$'nin Hilbert serisi diyoruz. Zaman zaman Hilbert-Poincare serisi de deniyor. Bu serinin sonlu olmasi halinde, yani bir yerden sonra $V_i$'lerin sifir vektor uzayi olmasi halinde, ise Hilbert-Poincare polinomu oluyor. Bu seri daha da genel haliyle dereceli bir halka/cebir uzerine dereceli moduller icin de tanimlanabiliyor ve bize halkamiz/cebirimiz hakkinda ekstra bilgiler veriyor. Degismeli cebirde bircok yerde karsimiza cikiyor.
Simdi biraz daha ozel bir duruma bakalim. Anladigim kadariyla Poincare isminin verilmesinin topolojik sebepleri var. Elimizde bir topolojik uzay $X$ oldugunu dusunelim. Bu uzaydan bize gelen dogal bir dereceli vektor uzayi var: $\oplus_{i=1}^{\infty} H_i(X)$. Katsayilarin $\mathbb{C}$'de oldugunu dusunelim ama aslinda hangi halkayi alirsak alalim tanim ayni olacak. O zaman, $X$'in Poincare serisi $$f_X(x) = \sum_{i} \dim H_i(X) x^i$$ olarak tanimlaniyor. Eger bu sonlu bir toplamsa, yani $X$'in homolojisi bir yerden sonra sifirlaniyorsa -ki genelde boyle topolojik uzaylara bakiyor insanlar- o zaman $f_X$'e $X$'in Poincare polinomu deniyor. Peki bu polinom uzay hakkinda ne soyluyor bize? Evet, katsayilari Betti sayilari ve homolojisinin boyutunu belirliyor. Ama bu katsayilari polinomlarla kodlamamizin getirdigi bir kolaylik var mi? Ilk bakista gorebilecegimiz neler var? Mesela bu polinomu sifirda degerlendirince $\dim H_0(X)$ geliyor. Yani, Poincare polinomunun sifirdaki degeri topolojik uzayimizin baglantili bilesenlerinin sayisini veriyor bize. Eger $-1$'deki degerine bakarsak da
Euler karakteristigini elde ediyoruz.
Baska bir kolaylik da tensor carpimin Betti sayilarini bulmakta. Eger $V = \oplus_{i}^{\infty} V_i$ ve $W = \oplus_i^{\infty} W_i$ iki $\mathbb{N}$-dereceli vektor uzayi ise $V \otimes W $ su sekilde tanimlaniyor:
$$V \otimes W = \bigoplus_{i =0}^{\infty} \bigoplus_{j+k = i} V_i \otimes W_j$$ ama buna bakinca polinom carpmasi direkt olarak goze carpiyor zaten: Tensor carpimin Hilbert-Poincare serisi, Hilbert-Poincare serilerinin carpimina esit. Peki tensor carpimini topolojide gordugumuz bir yer var mi? Evet. Kunneth formulu, bize sunu soyluyor: $X$ ve $Y$ iki topolojik uzay ise $X \times Y$'nin (singuler) homolojisi su formulle hesaplaniyor: $$H_i(X \times Y) = \bigoplus_{j + k = i} H_j(X) \otimes H_k(Y)$$ Bu da demek oluyor ki $X \times Y$'nin Betti sayilarini bulmak icin $X$ ve $Y$'nin Poincare serilerini/polinomlarini carpmam yeterli. Ornegin, eger torusun ($T = S^1 \times S^1$) homolojisini merak ediyorsam $(1 + x)(1+x)$ carpimina bakmaliyim. Cunku cemberin homolojisi $H_0(S^1) = H_1(S^1) = \mathbb{C}$ ve $H_{i}(S^1) = 0$ ($i > 1$ icin.). Bu da bize torusun Poincare polinomunun $1 + 2x + x^2$ oldugunu soyluyor. Ve gercekten de $H_0 (T) = H_2(T) = \mathbb{C}$ ve $H_1(T) = \mathbb{C}^2$ (ve diger homolojiler sifir.).
Ama Lie grup ya da cebirsel temsil teorisinde nasil kullanildigini gormedim henuz. Cok bilmiyorum. Biri yazar umarim.