Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
325 kez görüntülendi

$I_r$, $K$'da $r$-simpleks sayıları olmak üzere; bir simpleksler kompleksi $K$'nın Euler karakteristiği, $χ(K) := \sum_{r=0}^n(-1)^rI_r$ şeklinde tanımlanıyor.

$b_r$, $b_r =$ dim$H_r(K,\mathbb R)$ ile tanımlanan Betti sayısı olmak üzere; Euler Poincare Teoremi $χ(K) := \sum_{r=0}^n(-1)^rb_r$ 'yi ispatlayınız.

Not:

($b_r$'yi dim$(Z_r)$, dim$(B_r)$ açısından ve $I_r =$dim$(C_r)$'yi dim$(Z_r)$, dim$(B_{r-1})$ 'i açısından ifade edin.)

($∂_r$ gibi lineer fonksiyonların çekirdekleri/görüntülerini kullanmak üzere)

Akademik Matematik kategorisinde (48 puan) tarafından  | 325 kez görüntülendi

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

$\def\del{\partial} \def\im{\mathrm{im}}$

Elimizde

$$ 0 \to C_n \xrightarrow{\del_n} C_{n-1} \to \ldots \to C_1 \xrightarrow{\del_1} C_0 \xrightarrow{\del_0} 0$$

seklinde bir zincir kompleksi var: $\del_{r} \circ \del_{r+1} = 0$. Soruda verilmemis, tanimlari yazalim:

$$Z_r = \ker (\del_r) \quad ,\quad B_r =  \im(\del_{r+1})$$

$\del_{r} \circ \del_{r+1} = 0$ oldugu icin $B_{r+1} \subseteq Z_r$ olur. Bu durumda $r$'inci homoloji grubu 

$$H_r = Z_r / B_{r+1}$$

olarak tanimlanir ($\mathbb{R}$ katsayilari ile calistigimizdan buradaki her sey ayni zamanda bir $\mathbb{R}$-vektoruzayi). Simdi notta verilenleri yapalim:

$b_r = \dim H_r=  \dim Z_r - \dim B_{r+1} $

ve

$I_r = \dim C_r =  \dim Z_r + \dim B_r $

Bu iki esitlik de lineer cebirden geliyor. Ilki bolum uzayinin boyutu, ikincisi ise meshur "rank-nullity" teoremi.

Simdi, 

$\chi(K) = \sum_{r = 0}^n (-1)^r I_r $

$\quad \quad = (\dim B_0 + \dim Z_0) - (\dim B_1 + \dim Z_1) + \ldots + (-1)^n(\dim B_n + \dim Z_n)$

$\quad \quad = \dim B_0 + (\dim Z_0 - \dim B_1) - (\dim Z_1 - \dim B_2) +\ldots +(-1)^{n-1} (Z_{n-1} - B_n) + (-1)^n \dim Z_n$

Burada tek yaptigim, toplama isleminde parantezleri kaydirmak oldu. Ama bu ufak numara cok ise yaradi. Cunku, ortadaki terimlerin ne oldugunu biliyorum:

$\quad \quad =  \dim B_0 + \dim H_0 - \dim H_1 + \ldots + (-1)^{n-1}H_{n-1} + (-1)^n \dim Z_n$

istedigimiz seye cok yakiniz artik. Gozlemlememiz gereken iki sey var:

  1. $B_ 0 = \im (\del_0 : C_0 \to 0 ) = 0$
  2. $B_{n+1} =\im(\del_{n+1}:0 \to C_n) = 0$
O halde bu uzaylarin boyutlari da sifir! Dolayisiyla yukaridaki toplamda $\dim B_0$ terimini yazmama gerek yok ve eger istersem $(-1)^n \dim B_{n+1}$ terimini ekleyebilirim. Bu da kaniti bitirir:
$$\chi(K) = \sum_{r = 0}^n \dim C_r = \sum_{r=0}^n \dim H_r$$

(2.5k puan) tarafından 
20,200 soru
21,728 cevap
73,277 yorum
1,888,035 kullanıcı