Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
4 beğenilme 0 beğenilmeme
1.5k kez görüntülendi
Altında yatan fikir nedir?
Lisans Matematik kategorisinde (3.7k puan) tarafından  | 1.5k kez görüntülendi

çok değişkenli fonksiyonların yan şartlı ekstremum problemlerinde kullanıldığını biiyorum, fonksiyonların gradient vektörlerinin doğrultularının aynı olmasıyla ilgili olduğu üzerine açıklamalar mevcut ama altında yatan temel mantığı anlatan cevabı merakla bekliyorum..

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Lagrange çarpanı genel olarak bir $f:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}$ göndermesinin uç noktalarını   -$g:A\subset \mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R},\vec{x}\mapsto g(\vec{x})$ olmak üzere- bir $g(\vec{x})=0$ (*) yan şartı gözetilerek bulmaya yarar.

Temelinin geometriye dayandığını şöyle görebiliriz:
$A=\mathbb{R}^{2}$ olsun.

1- Eğer bir yan şart verilmemişse, $f(x,y)$'nin uç noktalarını; herhangi bir $x_\text{0}$ noktasından başlayıp hep $f$'nin eğiminin en fazla olduğu yönde -yani $\vec{\nabla}f$ yönünde- ta ki $\Vert \vec{\nabla}f\Vert=0$ oluncaya dek ilerleyerek  bulabiliriz (,bu son nokta bir uç nokta, ayrıca şekile bkz.).

2- Eğer bir $g(x,y)=0$ yan şartı verilmişse, $f(x,y)$'nin uç noktalarına  1'dekine ek olarak sadece $g=0$ çizgisi doğrultusunda ya da ona paralel gitmek şartıyla ulaşabiliriz.   Bu da $\vec{\nabla}g$'ye dik istikamette gitmek demektir, çünkü her $s\in\mathbb{R}$ için $\forall x_1\in \{(x,y)\in\mathbb{R}: g(x,y)=s\} :\vec{x}_1:=x_1x_0\perp\vec{\nabla}g[x,y] $'dir. $\vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_{\perp}f+\vec{\nabla}_{\parallel}f$  $\vec{\nabla}g$'ye dik ve paralel diye ayırırsak, bir uç nokta $\vec{\nabla}_{\perp}f=0$ olduğunda bulunmuş olur. Ama o halde $\vec{\nabla}f=\vec{\nabla}_\parallel f \rightarrow \vec{\nabla}f\parallel\vec{\nabla}g\rightarrow\vec{\nabla}f=\lambda\vec{\nabla}g , \lambda\in\mathbb{R}$(**)  (=Lagrange çarpanı) olur.

image

Tanım (Lagrange çarpanı yöntemi):$F:\mathbb{R}^n \times\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},(\vec{x},\lambda)\mapsto F(\vec{x},\lambda):=f(\vec{x})-\lambda g(\vec{x})$ göndermesini tanımlayalım. $f$ için $g(\vec{x})=0$ yan şartlı uç noktalarında
$\vec{\nabla}F(\vec{x},\lambda)=\vec{0}$ ($\equiv$(*)) ve $\frac{\partial}{\partial \lambda}F(\vec{x},\lambda)=0$($\equiv$(**)) denklemlerinin sağlaması gerekir (...yöntem bunları çözmekten ibaret).

(1.2k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş
18,540 soru
20,833 cevap
67,770 yorum
19,234 kullanıcı