f(x) fonksiyonunu bulunuz.

Question

$ f(x^2+1)=5x^4+7x^2+19 $ ise f(x) fonksiyonunu bulunuz.

Comments

Su $7x^{2}$ yerine $10x^{2}$ olsaymis keske

---

Soru, çok kolay olmasın diye bu şekilde düzenlenmiş.

---

f(x) ile ilgili baska bir bilgiye daha ihtiyaç yok mu?

---

Yok, çözümü çok merak ettiysen cevabını yayınlayabilirim.

Ama istersen biraz daha düşün.

---

x yerine $ x^2 $ konursa $ x^4$  elde edilmez, değil mi?

---

Her iki tarafın turevını aldıktan sonra x yerine x/2 yazp f(x) ın turevinden f e ulasabilirim sanirim.

---

Burada türev söz konusu değil ki.

---

basit düsünemiyorum sanirim :) cevabı merak ettim

---

Çözümü görünce soru kolay geldi mi size?

---

Evet böyle düsünememistim guzel soru.

Answer 1

$f(x)=ax^2+bx+c $ alınırsa,

$ f(x^2+1)=a(x^2+1)^2+b(x^2+1)+c $

$ f(x^2+1)=ax^4+(2a+b)x^2+a+b+c $

$ f(x^2+1)=5x^4+7x^2+19 $

Bu iki fonksiyonun eşit olması için 

derecesi aynı olan katsayılar eşit olmalıdır.

a=5 bulunur.

2a+b=7

b=-3 bulunur.

a+b+c=19

c=17 bulunur.

$ f(x)=ax^2+bx+c $ alınmıştı.

Buradaki  a,b,c yerine bulduğumuz değerleri koyarsak,

$ f(x)=5x^2-3x+17 $  fonksiyonunu bulmuş oluruz.

Comments

$\mathbb{R}$ de tanımlı olduğu varsayılşırsa,  $x^2+1$ örten olmadığı için

 $f(x)=\begin{cases}5x^2-3x+17\ x\geq1\\ 0\qquad x<1\end{cases}$ de olabilir. 

Veya baştan $f(x)$ bir polinomdur denebilir

---

x<1 için f(x)=0 ise $ f(x^2+1) =5x^4+7x^2+19 $  yazılamazdı.

Answer 2

Çarpanlara ayırma ile de yapılabilir:

$f(x^{2}+1)=5x^{4}+5x^{2}+2x^{2}+2+17=5x^{2}(x^{2}+1)+2(x^{2}+1)+17$

$=(x^{2}+1)(5x^{2}+5-3)+17$

$x^{2}+1=t$ denirse fonksiyonun kuralı

$f(t)=5t^{2}-3t+17$  olarak bulunur.

Comments

Elinize sağlık. Satır çok uzun olduğu için satırın sonu okunamıyor.

Satırı bölerseniz rahat okunur.

---

Sizin de elinize sağlık.